ICPC网络赛2022第二场 A题 Yet Another Remainder 题解

Yet Another Remainder II 题解

谢罪：讲题的时候实在太紧张了，感觉完全没讲清楚TAT

这是我第一次出正规比赛的题目，灵感来源于一次偶然的想法，与之前的一道交互题有异曲同工之妙。

Hints

Hint-1

模数$p$一定是一个质数，有什么特性？

Hint-2

我们都知道，正整数$n$在模质数$p$意义下的逆元是$n^{p-2}$，实际上其原理是费马小定理，也即$n^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。并且该定理有一个前提，$n$不能是$p$的倍数。

Hint-3

模数限制中，特意指明模数不会是$2$或$5$，结合上一条提示，你是否有了想法？

Hint-4

通过上两条提示，我们可以联想到，$10^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$在$p$为任意合法输入时成立。

Hint-5

观察模数$p$的数据范围，发现一定有$p<100$，而询问的轮数最多为$100$，这之间有什么关联？再仔细思考每次询问的含义，你能想到什么？

Solutions

根据费马小定理，$10^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$在$p$为任意合法输入时成立。

Solution-1（数学）

令$k=p-1$，则$10^{tk}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$在$t$取任意非负整数时成立。

对题给的询问进行分析可知，