计算机程序设计艺术一欧几里得算法_欧几里得算法这在算法中不产生任何实质性的改变只是稍稍增加了算法的长度-优快云博客

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本文介绍了计算机程序设计艺术中欧几里得算法的概念，证明了辗转相除法的数学原理，并详细阐述了算法的递归和非递归实现方式，旨在帮助读者理解如何计算两个整数的最大公约数。

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计算机程序设计艺术一欧几里得算法

概念

欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数.其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b。假设 d 是 a, b 的一个公约数,则有 d|a, d|b,而 r = a - kb ,因此 d|r 因此 d 是(b,a mod b)的公约数，假设 d 是(b,a mod b)的公约数,则 d | b , d |r ,但是 a = kb + r，因此 d 也是 (a,b) 的公约数，因此 (a,b) 和 (b,a mod b) 的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。

书中的算法描述

给定两个正整数m和n，求它们的最大公因子，既能够同时整除m和n的最大正整数。
E1.[求余数]以n除以m并令r为所得余数。(我们将有0<= r < n)
E2.[余数为零?]若r=0,算法结束，n即为答案。
E3.[减少]置m<-n, n <- r，并返回步骤E1。

※确保m>=n这在算法中不产生任何实质性的改变，只是稍稍增加了算法的长度，却在大约一半情况下减少了
运行时间。

代码实现

1.递归实现

int gcd(int m, int n)
{
    if (m < n)
    {
        int tmp = m;
        m = n;
        n = tmp;
    }

    if (n == 0)
    {
        return m;
    }
    else
    {
        return gcd(n,m % n);
    }
}

2.非递归实现

int gcd1(int m,int n)
{
       if (m < n)
       {
              int tmp = m;
              m = n;
              n = tmp;
       }

       if (n == 0)
              return m;
       while (n > 0)
       {
              int tmp = m % n;
              m = n;
              n = tmp;
       }

       return m;
}