《计算机程序设计艺术》读书笔记(一)

慢慢敲吧

已于 2022-05-11 09:44:48 修改

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分类专栏：数据结构与算法文章标签：算法线性代数图论 c++

于 2022-05-10 23:01:30 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_57469718/article/details/124699726

本文介绍了数学知识在程序设计中的重要性，包括数学归纳法在循环和递归中的应用，初等数论的基础如素数筛算法和欧几里得算法，以及快速幂和快速乘算法。此外，还探讨了矩阵快速幂在解决斐波那契数列问题上的效率，并提供了一道关于找特定数字长度的练习题。

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文章目录

卷一：数学知识准备篇

卷一：数学知识准备篇

数学归纳法

证明P(1)
假设P(k)正确 --> 证明P(k+1)
证毕，P(n)正确

数学归纳法与程序设计

循环累加求和
递归求阶乘
HZOJ-236 递归实现组合型枚举 oj.haizeix.com

int main(){
    int sum = 0;
    for(int i = 1; i <= 100; i++){
        sum += i;
    }
    cout << sum << endl;
    return 0;
}

int f(int n){
    if(n == 1) return 1;
    return n * f(n - 1);
}

int main(){
    cout << f(5) << endl;
    return 0;
}

void output(int n, int m, int p, vector<int> &buff){
//从n个数字中选m个数字，p:当前可以选择的最小数字
//buff：当前已经选的数字
    if(buff.size() == m){
        for(int i = 0; i < m; i++){
            if(i != 0) cout << " ";
            cout << buff[i];
        }
        cout << endl;
        return;
    }
    //buff数量不足m的情况
    for(int i = p; i <= n; i++){
        buff.push_back(i);//继续添加元素
        output(n, m, i + 1, buffer);//继续往下递归调用,达到m就输出一种方案
        //输出结束后，把不应该存在buff末尾的元素删除
        buff.pop_back();
    }
    return;
}
    
int main(){
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<int> buff;
    output(n, m, 1, buff);
    return 0;
}

了解数学归纳法平时更多的是为了保证程序设计的正确性，即使是复杂程序设计也一样。

初等数论基础

素数筛算法

//define MAX_N 10000
int prime[MAX_N + 5] = {0};
//被标记的i为1，没被标记为0
void init_prime(){
    for(int i = 2; i * i <= MAX_N; i++){
        if(prime[i]) continue;//i被标记了就继续
        //用j把i的倍数都标记
        for(int j = i * i; j <= MAX_N; j += i) prime[j] = 1;
    }
    //prime[0]:记录的是表中素数的个数  prime[0]前面存的是素数表，后面存的是标记信息
    for(int i = 2; i <= MAX_N; i++){
        //把所有素数整理到prime前半段
        if(prime[i] == 0) prime[++prime[0]] = i;
    }
    return;
}
int main(){
    init_prime();
    cout << "total prime : " << prime[0] << endl;
    int x;