Unique Binary Search Trees

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本文探讨了如何通过动态规划计算给定整数范围内具有唯一结构的二叉搜索树的数量。通过实例演示了从1到n的每个长度对应的二叉树种类数，并详细解释了动态规划公式及其实现过程。

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

dp[i] 记录长度为i 时二叉树的种类数。

从1 到 n计算各长度的值，当计算长度为len是所有节点数小于len的二叉树的值都是已知的。

从1 到len 选择一个数k作为根，所有小于k的数做为左子树，大于k的数做右子树，扫描时所有子树的长度为lenchild为[0 -- len - 1]所以所有dp[lenchild]的值都是已知的

左树可能的情况为dp[k - 1]，右树可能的情况为dp[len - k]，则dp[len] = {sum(dp[k - 1] * dp[len - k])| k = (123...len)}; dp[0] = 1 表示空树！

class Solution {
public:

    int numTrees(int n) {
       int *dp = new int[n + 5];

	   dp[0] = 1;
	   for(int i = 1; i <= n; i++)
	   {
		   dp[i] = 0;
		   for(int j = 1; j <= i; j++)
		   {
			   dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
		   }
	   }
	   int rtv = dp[n];
	   delete[] dp;
	   return rtv;
    }
};