数论基础知识（进阶篇）

这是我在ACM竞赛中学习数论时整理的一些基础的知识点，这篇博客主要讨论数论中出现的一些数论函数和相关的一些算法。如果在理解上有所困难，请看数论基础知识（基础篇）

算术基本定理

又称整数的唯一分解定理。

• 内容： 任何一个大于1的自然数N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积（摘自于百度百科）。符号表示$n=p_1^{c_1}\ast p_2^{c_2}\ast ...\ast p_m^{c_m}$，其中$p_1<p_2<...<p_m$。这样的分解称为 N 的标准分解式。

算术基本定理是初等数论中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

再谈gcd与lcm

正整数a, b,根据算术基本定理，a,b可以分别表示为：
$a=p_1^{{\alpha }_{a_1}}{p}_2^{{\alpha }_{a_2}}...p_m^{{\alpha }_{a_m}}$
$b=p_1^{{\alpha }_{b_1}}{p}_2^{{\alpha }_{b_2}}...p_m^{{\alpha }_{b_m}}$
$gcd(a,b)$的本质就是：
g c d ( a , b ) = p 1 m i n { α a 1 , α b 1 } p 2 m i n { α a 2 , α b 2 } . . . p m m i n { α a m , α b m } gcd(a,b)=p_{1}^{min\{\alpha_{a_{1}},\alpha_{b_{1}}\}}p_2^{min\{\alpha_{a_{2}},\alpha_{b_{2}}\}}...p_{m}^{min\{\alpha_{a_{m}},\alpha_{b_{m}}\}} gcd(a,b)=p1min{αa1​​,αb1​​}​p2min{αa2​​,αb2​​}​...pmmin{αam​​,αbm​​}​
$lcm(a,b)$的本质就是：
l c m ( a , b ) = p 1 m a x { α a 1 , α b 1 } p 2 m a x { α a 2 , α b 2 } . . . p m m a x { α a m , α b m } lcm(a,b)=p_{1}^{max\{\alpha_{a_{1}},\alpha_{b_{1}}\}}p_2^{max\{\alpha_{a_{2}},\alpha_{b_{2}}\}}...p_{m}^{max\{\alpha_{a_{m}},\alpha_{b_{m}}\}} lcm(a,b)=p1max{αa1​​,αb1​​}​p2max{αa2​​,αb2​​}​...pmmax{αam​​,αbm​​}​
因此$ab=lcm(a,b)\ast gcd(a,b)$

积性函数

假设正整数表示为：$n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}...p_m^{{\alpha }_m}$

• 定义： 当a,b互质时，有$f(a\ast b)=f(a)\ast f(b)$则称函数f为积性函数。
  当a,b时任意正整数时，有$f(a\ast b)=f(a)\ast f(b)$则称函数f为完全积性函数。
  根据定义可知，所有的积性函数满足$f(1)=1$
• 常见积性函数
  • 欧拉函数

    • 定义： 1~n 中与 n 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为$\phi (N)$。

    • 计算公式：$\phi (n)=n\ast \frac{p_1-1}{p_1}\ast \frac{p_2-1}{p_2}\ast ...\ast \frac{p_m-1}{p_m}$

    • 性质：

      • 1. 任意n>1,1~n中与n互质的数的和为$\frac{n\ast \phi (n)}{2}$

        • 证明： 若a与n互质，即$gcd(a,n)=gcd(n-a,n)=1$,则n-a也与n互质，所以满足$\frac{n\ast \phi (n)}{2}$

      • 2.${\sum }_{d\mid n}\phi (d)=n$

        • 证明： 当$n=p^{\alpha }$时，${\sum }_{d\mid n}\phi (d)=\phi (1)+\phi (p)+\phi (p^2)+...+\phi (p^{\alpha })=1+(p-1)+p(p-1)+...+p^{\alpha -1}(p-1)=p^{\alpha }=n$，令$f(n)={\sum }_{d\mid n}\phi (d)$,因为$\phi (n)$是积性函数，所以$f(n)$也为积性函数，将正整数n分解为 $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}...p_m^{{\alpha }_m}$，则$f(n)=f(p_1^{{\alpha }_1})\ast f(p_2^{{\alpha }_2})\ast ...\ast f(p_m^{{\alpha }_m})=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}...p_m^{{\alpha }_m}=n$

      • 3. 当n为质数时，$\phi (n)=n-1$

        • 证明： 显然n为质数时，与其互质的数的个数为n-1。

    • 求解方法：

      • 1. 根据计算公式直接计算，时间复杂度$O\sqrt{n}$
        代码实现：

        int eluer(int n)
        {
        	int ans = n;
        	for(int i = 2; i * i <= n; i ++){
        		if(n % i == 0) {
        			ans = (ans / i) * (i - 1);
        			while(n % i == 0) n /= i;
        		}
        	}
        	if(n > 1) ans = (ans / n) * (n - 1);
        	return ans;
        }
        

      • 2. 线性筛法，$O(N)$复杂度内求解1～n所有的欧拉函数
        • 当$p\mid n且p^2\mid n,则\phi (n)=\phi (\frac{n}{p})\ast p$;
        • 当$p\mid n且p^2\nmid n,则\phi (n)=\phi (\frac{n}{p})\ast \phi (p)$
          代码实现：

        int maxn = 1e6 + 100;
        bool v[maxn];	
        int phi[maxn], p[maxn];		 
        void sieze(int n)
        {
        	int m = 0; memset(v, false, sizeof(v));
        	for(int i = 2; i <= n; i ++){
        		if(!v[i]){
        			p[++ m] = i; phi[i] = i-1;
        		}
        		for(int j = 1; j <= m && i * p[j] <= n; j ++){
        			v[i * p[j]] = true;
        			if(i % p[j]) phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j];
        			else {
        			 	phi[i * p[j]] = phi[i] * phi[p[j]];
        				break;
        			}
        		}
        	}
        }
        

    • 莫比乌斯函数

      • 定义： $\mu (n)=\{\begin{array}{c}0,\exists i\in [1,m],c_i>1\\ 1,m\equiv 0(mod2),\forall i\in [1,m],c_i=1\\ -1,m\equiv 1(mod2),\forall i\in [1,m],c_i=1\end{array}$

      通俗的说，对于n如果存在平方因子，则$\mu (n)=0$,若不存在平方因子，n的质因数的个数为m，则$\mu (n)=(-1{)}^m$。

      • 求解方法：
        51Nod1240莫比乌斯函数
        • 1.直接求法：$O\sqrt{n}$求解一个数
          的$\mu (n)$
          代码实现：

        int mu(int n)
        {
            int m = 0;
        	for(int i = 2; i * i <= n; i ++){
        		if(n % i == 0){
        			int cnt = 0;
        			m ++;
        			while(n % i == 0){
        				cnt ++;
        				n /= i;
        				if(cnt >= 2) return 0;
        			} 
        		}
        	}
        	if(n > 1) m ++;
        	return m % 2 == 0 ? 1 : -1;
        }
        

        • $O(n)$求解1～n以内的所有$\mu (n)$

        const int maxn = 1e5 + 10;
        bool v[maxn];
        int mu[maxn], p[maxn];
        void sieze(int n)
        {
        	int m = 0; memset(v, false, sizeof(v));
        	mu[1] = 1;
        	for(int i = 2; i <= n; i ++){
        		if(!v[i]){
        			p[++ m] = i; mu[i] = -1;
        		}
        		for(int j = 1; j <= m && i * p[j] <= n; j ++){
        			v[i * p[j]] = true;
        			if(i % p[j]) {
        				mu[i * p[j]] = -mu[i];
        			}
        			else {
        				mu[i * p[j]] = 0;
        			 	break;
        			}
        		}
        	}
        }
        

  • 约数个数函数
    • 定义： 表示正整数n的所有约数的个数，记为$d(n)$ ，也记作$\tau (n)$。
    • 计算公式：$d(n)=({\alpha }_1+1)\ast ({\alpha }_2+1)\ast ...\ast ({\alpha }_m+1)={\Pi }_{i=1}^m({\alpha }_i+1)$。
    • 求解方法：
      • 1.$O\sqrt{n}$求解一个数$d(n)$
        代码实现：

        int d(n)
        {
        	int ans = 1;
        	for(int i = 2; i * i <= n; i ++){
        		if(n % i == 0){
        			int cnt = 0;
        			while(n % i == 0){
        				n /= i; 
        				cnt ++;
        			}	
        			ans *= (cnt + 1);
        		}
        	}
        	if(n > 1) ans *= 2;
        	return ans;
        }
        

      • $O(n)$求解1~n以内所有的d(n)
        代码实现：

        const int maxn = 1e5 + 100;
        int p[maxn], num[maxn], d[maxn];
        bool v[maxn];
        int m = 0;
        void sieze(int n)
        {
            m = 0; memset(v, false, sizeof(v));
            d[1] = 1; num[1] = 1;
            for(int i = 2; i <= n; i ++){
                if(!v[i]){
                    p[++ m] = i; d[i] = 2; num[i] = 1;
                }
                for(int j = 1; j <= m && i * p[j] <= n; j ++){
                    v[i * p[j]] = true;
                    if(i % p[j]){
                        d[i * p[j]] = d[i] * d[p[j]];
                        num[i * p[j]] = 1;
                    }
                    else {
                        d[i * p[j]] = (d[i] / (num[i] + 1)) * (num[i] + 2);
                        num[i * p[j]] = num[i] + 1;
                        break;
                    }
                }
            }
        }
        

  • 约数和函数
    • 定义： 表示正整数n的所有约数的和，记作$\sigma (n)$
    • 计算公式：$\sigma (n)=(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{{\alpha }_1})(1+p_2+p_2^2+...+p_2^{{\alpha }_2})\ast ...\ast (1+p_m+p_m^2+...+p_m^{{\alpha }_m})=\frac{p{1}^{{\alpha }_1+1}-1}{p_1-1}\ast \frac{p_2^{{\alpha }_2+1}-1}{p_2-1}\ast ...\ast \frac{p_m^{{\alpha }_m+1}-1}{p_m-1}={\Pi }_{i=1}^m\frac{p_i^{{\alpha }_i+1}-1}{p_i-1}$
  • 元函数
    • 定义： 记作$\epsilon (n),\epsilon (n)=[n=1]$，当且仅当n为1时$\epsilon (n)=1$，否则均为0。
  • 恒等函数
    • 定义： 记作$I(n)$,对于任意的n都是1，即$I(n)=1$
  • 单位函数
    • 定义： 记为$id(n),id(n)=n$

狄利克雷巻积

• 定义： 两个数论函数f(n)和g(n)作巻积记为$(f\ast g)(n)={\sum }_{d\mid n}f(d)\ast g(\frac{n}{d})$，简记为$f\ast g$

• 运算性质: 以下运算性质都可根据定义得到

  • 1.交换律： $f\ast g=g\ast f$
  • 2.结合律： $(f\ast g)\ast h=f\ast (g\ast h)$
  • 3.分配率： $(f+g)\ast h=f\ast h+g\ast h$

• 几个重要的巻积

  • 1. $f\ast \epsilon =f$
    • 证明：$f\ast \epsilon ={\sum }_{d\mid n}f(d)\ast \epsilon (\frac{n}{d})=f(n)\ast \epsilon (1)=f(n)$
  • 2. $I\ast \mu =\epsilon$
    • 证明： 当n=1时，$I\ast \mu =1$,
      当n>1时，将n分解为$n=p_1^{{\alpha }_1}\ast p_2^{{\alpha }_2}\ast ...\ast p_m^{{\alpha }_m}$
      $I\ast \mu =\mu \ast I={\sum }_{d\mid n}\mu (d)\ast I(\frac{n}{d})={\sum }_{d\mid n}\mu (d)$根据莫比乌斯函数的定义，
      ${\sum }_{d\mid n}=(C_m^0+C_m^2+C_m^4+...+C_m^{\lfloor \frac{m}{2}\rfloor \ast 2})-(C_m^1+C_m^3+...+C_m^{(\lfloor \frac{m-1}{2}\rfloor \ast 2)+1})=0$
  • 3. $\phi \ast I=id$
    • 证明： $\phi \ast I={\sum }_{d\mid n}\phi (n)\ast I(\frac{n}{d})={\sum }_{d\mid n}\phi (n)=n$,根据欧拉函数的性质可得。

  注：两个积性函数作巻积，结果仍然为积性函数

积性函数线性筛

之前的欧拉函数、莫比乌斯函数、约数个数函数$O(n)$计算1～n以内的所有的函数，就是积性函数线性筛的做法，原理基本相同。只要是积性函数，原则上都能线性筛出1~n以内的所有函数值。
以约数和个数为例,令$f(n)=\sigma (n)$
当n是质数时，$f(n)=n+1$
将正整数n分解成$n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}...p_m^{{\alpha }_m},满足p_1<p_2<...<p_m$
定义$low[n]=p_1^{{\alpha }_1}$
当$p\mid n且p^2\nmid n$,则$p$与$\frac{n}{p}$互质，则$d(n)=d(\frac{n}{d})\ast d(p)$
当$p\mid n且p^2\mid n$,若$low(\frac{n}{p})=\frac{n}{p},f(n)=f(\frac{n}{p})\ast p+1$,否则，$\frac{\frac{n}{p}}{low[\frac{n}{p}]}$与$low[\frac{n}{p}]\ast p$互质，则$f(n)=f(\frac{\frac{n}{p}}{low[\frac{n}{p}]})\ast f(low[\frac{n}{p}]\ast p)$
代码实现：

const int maxn = 1e5 + 100;
int p[maxn], low[maxn], f[maxn];
bool v[maxn];
int m = 0;
void sieze(int n)
{
    m = 0; memset(v, false, sizeof(v));
    f[1] = 1; low[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i ++){
        if(!v[i]){
            p[++ m] = i; f[i] = i + 1; low[i] = i;
        }
        for(int j = 1; j <= m && i * p[j] <= n; j ++){
            v[i * p[j]] = true;
            if(i % p[j]){
                f[i * p[j]] = f[i] * f[p[j]];
                low[i * p[j]] = p[j];
            }
            else {
                if(low[i] == i) f[i * p[j]] = f[i] * p[j] + 1;
                else f[i * p[j]] = f[i / low[i]] * f[low[i] * p[j]];
                low[i * p[j]] = low[i] * p[j];
                break;
            }
        }
    }
}

莫比乌斯反演定理

• 定理说明： 若存在$F(n)={\sum }_{d\mid n}f(d)$，则有$f(n)={\sum }_{d\mid n}\mu (d)F(\frac{n}{d})$
• 证明： $F=f\ast I\iff F\ast \mu =f\ast I\ast \mu =f\ast \epsilon =f$
• 莫比乌斯反演例题
  • BZOJ1011： 题解

莫比乌斯函数与欧拉函数之间关系

• $\frac{\phi (n)}{n}={\sum }_{d\mid n}\frac{\mu (d)}{d}$
• 证明： 根据${\sum }_{d\mid n}\phi (d)=n$，则$id=\phi \ast I\iff id\ast \mu =\phi \ast I\ast \mu =\phi \ast \epsilon =\phi$，则$\phi (n)={\sum }_{d\mid n}\mu (d)\ast \frac{n}{d}\iff \frac{\phi (n)}{n}={\sum }_{d\mid n}\frac{\mu (d)}{d}$。