3677: [Apio2014]连珠线

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本文介绍了一个经典的图论问题——Apio2014连珠线，探讨了如何通过树形DP算法求解最大得分。文章详细解释了问题背景、输入输出格式、样例及数据范围，并提供了具体的实现代码。

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3677: [Apio2014]连珠线

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB
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Description

在列奥纳多·达·芬奇时期，有一个流行的童年游戏，叫做“连珠线”。不出所料，玩这个游戏只需要珠子和线，珠子从1到礼编号，线分为红色和蓝色。游戏
开始时，只有1个珠子，而接下来新的珠子只能通过线由以下两种方式被加入：
1．Append(w，杪)：-个新的珠子w和一个已有的珠子杪连接，连接使用红线。
2．Insert(w，u，v)：-个新的珠子w加入到一对通过红线连接的珠子（u，杪）
之间，并将红线改成蓝线。也就是将原来u连到1的红线变为u连到w的蓝线与W连到V的蓝线。
无论红线还是蓝线，每条线都有一个长度。而在游戏的最后，将得到游戏的
最后得分：所有蓝线的长度总和。
现在有一个这个游戏的最终结构：你将获取到所有珠子之间的连接情况和所
有连线的长度，但是你并不知道每条线的颜色是什么。
你现在需要找到这个结构下的最大得分，也就是说：你需要给每条线一个颜
色f红色或蓝色），使得这种连线的配色方案是可以通过上述提到的两种连线方式
操作得到的，并且游戏得分最大。在本题中你只需要输出最大的得分即可。

Input

第一行是一个正整数n，表示珠子的个数，珠子编号为1刭n。
接下来n-l行，每行三个正整数ai，bi(l≤ai10000)，表示有一条长度为ci的线连接了珠子ai和珠子bi。

Output

输出一个整数，为游戏的最大得分。

Sample Input

5
1 2 10
1 3 40
1 4 15
1 5 20

Sample Output

HINT

数据范围满足1≤n≤200000。

Source

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考虑红边变成蓝边的过程，假设在给定的树上a,b,c三点依次相连 先用红线连接a,c，然后换上蓝线a,b和b,c 在之后，其他操作显然和这两条蓝线没有任何关系了 所以，对于任意合法方案，每一条蓝线总能找到唯一的一条蓝线与之对应，并且这两条蓝线有公共点 那么就直接树形dp，f[i][o]记录以i为根的子树，i向父亲的连边是否已经匹配，最优方案 维护最大值次大值什么的，讨论下换根操作就行了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
 
const int maxn = 2E5 + 20;
const int INF = ~0U>>1;
 
struct E{
    int to,w; E(){}
    E(int to,int w): to(to),w(w){}
};
 
int n,Ans,f[maxn],g[maxn],fr[maxn],pos[maxn],sc[maxn];
 
vector <E> v[maxn];
 
void Dfs1(int x,int va,int fa)
{
    fr[x] = sc[x] = -INF;
    for (int i = 0; i < v[x].size(); i++)
    {
        E e = v[x][i]; if (e.to == fa) continue;
        Dfs1(e.to,e.w,x); g[x] += max(f[e.to],g[e.to]);
    }
    for (int i = 0; i < v[x].size(); i++)
    {
        E e = v[x][i]; if (e.to == fa) continue;
        int now = g[x] - max(f[e.to],g[e.to]);
        f[x] = max(f[x],now + g[e.to] + e.w + va);
        now = g[e.to] - max(g[e.to],f[e.to]) + e.w;
        if (now < fr[x]) sc[x] = max(sc[x],now);
        else sc[x] = fr[x],fr[x] = now,pos[x] = i;
    }
}
 
void Dfs2(int x,int va,int sf,int sg,int fa)
{
    Ans = max(Ans,g[x] + max(sf,sg));
    for (int i = 0; i < v[x].size(); i++)
    {
        E e = v[x][i];
        if (e.to == fa) continue; int nf = 0,ng;
        ng = g[x] - max(f[e.to],g[e.to]) + max(sf,sg);
        if (va) nf = ng - max(sf,sg) + sg + va + e.w;
        if (pos[x] == i) nf = max(nf,ng + sc[x] + e.w);
        else nf = max(nf,ng + fr[x] + e.w);
        Dfs2(e.to,e.w,nf,ng,x);
    }
}
 
int getint()
{
    char ch = getchar(); int ret = 0;
    while (ch < '0' || '9' < ch) ch = getchar();
    while ('0' <= ch && ch <= '9')
        ret = ret * 10 + ch - '0',ch = getchar();
    return ret;
}
 
int main()
{
    #ifdef DMC
        freopen("DMC.txt","r",stdin);
    #endif
     
    n = getint();
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        int x = getint(),y,w;
        y = getint(); w = getint();
        v[x].push_back(E(y,w));
        v[y].push_back(E(x,w));
    }
    Dfs1(1,0,0); Dfs2(1,0,0,0,0);
    cout << Ans << endl;
    return 0;
}