010101背包问题的二维状态
状态定义 f[i][j]f[i][j]f[i][j]: 在前 iii 个物品中选, 并且总体积不超过 jjj 的集合
状态属性: 价值的最大值
状态计算:
1.选第 iii 个物品 f[i][j]=max(f[i][j],f[i−1][j−v[i]]);f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]]);f[i][j]=max(f[i][j],f[i−1][j−v[i]]);
2.不选第 iii 个物品 f[i][j]=max(f[i][j],f[i−1][j]);f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);f[i][j]=max(f[i][j],f[i−1][j]);
for(int i = 1; i <= n; i ++ )
for(int j = 1; j <= m; j ++ )
{
f[i][j] = f[i - 1][j];
if(j >= v[i])
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
010101 背包的一维状态
问题 111: 为什么能够优化到一维?
解答 111: 因为每次计算第i层状态时都用到的是第 i−1i-1i−1层状态所以可以将这一维省去,但是枚举体积时必须要反向枚举,原因是如果我们从小到大枚举,当前枚举到了 jjj 时,此时 jjj 左边的状态是第 iii 层状态,但是我们原状态转移方程所用到的是第 i−1i-1i−1 层的状态,与要求不符,所以必须从大到小枚举
for(int i = 1; i <= n; i ++ )
for(int j = m; j >= v[i]; j -- )
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);