[APIO2014]序列分割

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题意：把一个长度为n的序列分割成k+1份。每次选中一个长度大于一的块，把它分成两份称为一次分割。每次分割的权值等于这一刀 左边新块权值和 与 右边新块权值和 的乘积。
求最大权值。 2 ≤ n ≤ 100000 , 1 ≤ k ≤ min ⁡ { n − 1 , 200 } 2 \leq n \leq 100000, 1 \leq k \leq \min\{n - 1, 200\} 2≤n≤100000,1≤k≤min{n−1,200}

考虑前三个子任务 裸的区间dp啊
$f[left][right][k]={\max }_{j=left}^{right-1}{\max }_{kk=1}^{k-1}f[left][j][kk]+f[j+1][right][k-kk]+sum(left,j)\ast sum(j+1,right)$

考虑一个序列 已经被分成了k+1份
那么分割的顺序其实是不影响结果的
因为结果${\sum }_{i=1}^{k+1}{\sum }_{j=1}^{k+1}sum(块i)\ast sum(块j)$
那么上面那个dp 维护的分割顺序就可以去掉了
则有$f[i][k]={\max }_{j=1}^{i-1}f[j][k-1]+sum(1,j)\ast sum(j+1,i)$
至于位置的话 就记录一下pre[i][k] = j就okk了
然鹅这个式子的时间复杂度还是$O(n^{2}k)$
还要做一下斜率优化qvq
补一波斜率优化 传送门
看一下上面那个式子
$$f[i][k]=\underset{j=1}{\overset{i-1}{\max }}f[j][k-1]+sum(1,j)\ast sum(j+1,i)$$
$$=\underset{j=1}{\overset{i-1}{\max }}f[j][k-1]+sum[j]\ast (sum[i]-sum[j])$$
随j改变的量是$sum[j]\ast sum[i],sum[j{]}^2,f[j][k-1]$
所以可移项得$-sum[i]\ast sum[j]+f[i]=f[j]-sum[j{]}^2$
为了方便维护 把变量系数换成正的
$sum[i]\ast sum[j]-f[i]=-f[j]+sum[j{]}^2$
即过$P(sum[j],-f[j]+sum[j{]}^2)$的最小截距
然后就okk啦

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
const int Kmax = 205;
int n, pos, K;
long long f[N][2], sum[N];
int pre[N][Kmax];
int que[N], head, tail;
//P(sum[j], -f[j] + sum[j]^2)
//f[i][k] = = f[j][k - 1] + sum[j] * (sum[i] - sum[j])
inline double slope(int x, int y){
 if(sum[x] == sum[y]) return -1e9;
 return (sum[y] * sum[y] - sum[x] * sum[x]
 - f[y][pos ^ 1] + f[x][pos ^ 1])
 / (1.0 * (sum[y] - sum[x]));
 //死在这里了 如果直接调用X,Y会爆炸 
}
int main() {
 scanf("%d%d", &n, &K);
 for(int i = 1; i <= n; ++i){
  scanf("%lld", &sum[i]);
  sum[i] += sum[i - 1];
 }
 for(int k = 1; k <= K; ++k){
  pos = k & 1;
  head = tail = 1;
  for(int i = 1; i <= n; ++i){
   while(head < tail && slope(que[head], que[head + 1]) <= sum[i]) ++head;
   f[i][pos] = f[que[head]][pos ^ 1] + sum[que[head]] * (sum[i] - sum[que[head]]);
   pre[i][k] = que[head];
   while(head < tail && slope(que[tail - 1], que[tail]) >= slope(que[tail - 1], i)) --tail;
   que[++tail] = i; 
  }
 }
 printf("%lld\n", f[n][pos]);
 for(int i = pre[n][K], j = K; i; i = pre[i][--j]) printf("%d ", i);
 return 0;
}