【APIO 2014】序列分割

传送门

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Problem

你正在玩一个关于长度为 $n$ 的非负整数序列的游戏。这个游戏中你需要把序列分成 $(k+1)$ 个非空的块。为了得到 $(k+1)$ 块，你需要重复下面的操作 $k$ 次：

1. 选择一个有超过一个元素的块（初始时你只有一块，即整个序列）。
2. 选择两个相邻元素把这个块从中间分开，得到两个非空的块。

每次操作后你将获得那两个新产生的块的元素和的乘积的分数。你想要最大化最后的总得分。

数据范围：$0\le a_i\le 10^4$，$2\le n\le 100000$， 1 ≤ k ≤ m i n { n − 1 , 200 } 1≤k≤min\{n−1,200\} 1≤k≤min{n−1,200}。

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Solution

这篇博客写得很好，接下来有部分内容取自这里。

首先有一个结论，即当分割的位置确定时，分割的先后顺序对答案无影响。

下面是简单的说明：
如果我们有长度为 $3$ 的序列 $x,y,z$ 将其分为 $3$ 部分，有如下两种分割方法：

1. 先在 $x$ 后面分割，答案为 $x(y+z)+yz$，即 $xy+yz+zx$。
2. 先在 $y$ 后面分割，答案为 $(x+y)z+xy$，即 $xy+yz+zx$。

这个结论可以扩展到任意长度的序列（分析一下贡献），证毕。

定义 $F_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数进行 $j$ 次切割的最大得分。记 $S_i$ 表示 $a_i$ 的前缀和，那么转移方程为：

F i , k = max ⁡ j = 1 i − 1 { F j , k − 1 + S j ( S i − S j ) } F_{i,k}=\max_{j=1}^{i-1}\{F_{j,k−1}+S_j(S_i−S_j)\} Fi,k​=j=1maxi−1​{Fj,k−1​+Sj​(Si​−Sj​)}

发现 $k$ 只会从 $k-1$ 转移过来，因此可以用滚动数组来优化掉 $k$ 这一维。

现在记 $F_{i,k}$​ 为 $f_i$​，$F_{j,k-1}$​ 为 $g_j$​，那么方程为：

$$f_i=\underset{j=1}{\overset{i-1}{\max }}{g}_j+S_j(S_i-S_j)$$

感觉是一个可以斜率优化的式子！

按照套路，我们取 $j,k$ 满足 $1\le k<j<i$ 且 $j$ 比 $k$ 更优，那么有如下不等式：

$$g_j+S_j(S_i-S_j)>g_k+S_k(S_i-S_k)$$

化个简，得到：

$$\frac{(g_j-S_j^2)-(g_k-S_k^2)}{S_k-S_j}<S_i$$

维护一个下凸壳然后斜率优化即可。

注：本题中 $a_i$ 是非负整数，所以 $S_k-S_j$ 可能等于 $0$。这种情况需要特判，$slope$ 需要返回 $-inf$。

然后输出方案的话直接记一个 $pre$ 表示从哪转移过来即可。

时间复杂度：$O(nk)$

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Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 100005
#define ll long long
using namespace std;
ll f[N],g[N];
int S[N],Q[N],pre[N][205];
ll ordi(int x)  {return g[x]-1ll*S[x]*S[x];}
double slope(int x,int y){
	return (S[x]==S[y])?-1e20:1.0*(ordi(x)-ordi(y))/(S[y]-S[x]);
}
int main(){
	int n,k,i,j,x;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&x),S[i]=S[i-1]+x;
	for(j=1;j<=k;++j){
		int l=0,r=0;
		for(i=1;i<=n;++i){
			while(l<r&&slope(Q[l],Q[l+1])<=S[i])  l++;
			f[i]=g[Q[l]]+1ll*S[Q[l]]*(S[i]-S[Q[l]]),pre[i][j]=Q[l];
			while(l<r&&slope(Q[r-1],Q[r])>=slope(Q[r],i))  r--;
			Q[++r]=i;
		}
		memcpy(g,f,sizeof(g));
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
	for(x=n,i=k;i>=1;--i)  x=pre[x][i],printf("%d ",x);
	return 0;
}