[NOI2006]神奇口袋

探讨Polya抽球问题,分析在特定条件下抽取指定颜色球的概率,并通过数学推导证明,不同约束条件下的概率计算不受抽球顺序的影响,简化了解题过程。

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题意:
有t种颜色的球,最开始袋中每种颜色的小球各有a1, a2, a3……at个。Polya抽小球多次,每次抽球的结果为c1, c2, c3……(注意,至少有n个)。每次抽出一个颜色为ci的小球后,会再放入d个颜色为ci的小球。
现给出n个约束条件,每个条件形如xi,yi
表示c[xi] = yi
求满足所有条件的机率

这道题乱搞是很容易搞出来的
关键就是在证明
【小声:蒟蒻最不擅长概率题了qvq

首先 如果我们只有一个约束条件c[x] = y
考虑第x - 1步时 每个颜色有a1, a2……at个小球

x-1步选的颜色x步时的小球总数x步时的y球总数
ysum + day + d
不是ysum + day

此时满足条件c[x] = y的概率显然为

a [ y ] s u m ∗ a [ y ] + d s u m + d + s u n − a [ y ] s u m ∗ a [ y ] s u m + d \frac{a[y]}{sum} * \frac{a[y] + d}{sum + d} + \frac{sun - a[y]}{sum} * \frac{a[y]}{sum + d} suma[y]sum+da[y]+d+sumsuna[y]sum+da[y]

动笔算一下 这个式子等价于 a [ y ] s u m \frac{a[y]}{sum} suma[y]

其实到这里 这道题就okk了
但可以更进一步
既然我们可以证明一个约束不受顺序影响
自然可以想到去证多个约束也不被影响
式子懒得打了 借一下yyb大神仙的orz
y[i] == y[i + 1]那肯定不用说
如果y[i] != y[i + 1]
P 1 = a [ y [ i ] ] s u m ∗ a [ y [ i + 1 ] ] s u m + d P1 = \frac{a[y[i]]}{sum} * \frac{a[y[i+1]]}{sum+d} P1=suma[y[i]]sum+da[y[i+1]]
交换之后考虑概率
P 2 = a [ y [ i + 1 ] ] s u m ∗ a [ y [ i ] ] s u m + d P2 = \frac{a[y[i+1]]}{sum} * \frac{a[y[i]]}{sum+d} P2=suma[y[i+1]]sum+da[y[i]]
这样直接按照输入顺序处理就可以了

至于分数的处理
要么高精度
要么处理出它的质因数分解
对于每一个质因数 pr1 / pr2 = pr1-r2

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