[NOI2006]神奇口袋

探讨Polya抽球问题,分析在特定条件下抽取指定颜色球的概率,并通过数学推导证明,不同约束条件下的概率计算不受抽球顺序的影响,简化了解题过程。

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题目链接

题意:
有t种颜色的球,最开始袋中每种颜色的小球各有a1, a2, a3……at个。Polya抽小球多次,每次抽球的结果为c1, c2, c3……(注意,至少有n个)。每次抽出一个颜色为ci的小球后,会再放入d个颜色为ci的小球。
现给出n个约束条件,每个条件形如xi,yi
表示c[xi] = yi
求满足所有条件的机率

这道题乱搞是很容易搞出来的
关键就是在证明
【小声:蒟蒻最不擅长概率题了qvq

首先 如果我们只有一个约束条件c[x] = y
考虑第x - 1步时 每个颜色有a1, a2……at个小球

x-1步选的颜色x步时的小球总数x步时的y球总数
ysum + day + d
不是ysum + day

此时满足条件c[x] = y的概率显然为

a [ y ] s u m ∗ a [ y ] + d s u m + d + s u n − a [ y ] s u m ∗ a [ y ] s u m + d \frac{a[y]}{sum} * \frac{a[y] + d}{sum + d} + \frac{sun - a[y]}{sum} * \frac{a[y]}{sum + d} suma[y]sum+da[y]+d+sumsuna[y]sum+da[y]

动笔算一下 这个式子等价于 a [ y ] s u m \frac{a[y]}{sum} suma[y]

其实到这里 这道题就okk了
但可以更进一步
既然我们可以证明一个约束不受顺序影响
自然可以想到去证多个约束也不被影响
式子懒得打了 借一下yyb大神仙的orz
y[i] == y[i + 1]那肯定不用说
如果y[i] != y[i + 1]
P 1 = a [ y [ i ] ] s u m ∗ a [ y [ i + 1 ] ] s u m + d P1 = \frac{a[y[i]]}{sum} * \frac{a[y[i+1]]}{sum+d} P1=suma[y[i]]sum+da[y[i+1]]
交换之后考虑概率
P 2 = a [ y [ i + 1 ] ] s u m ∗ a [ y [ i ] ] s u m + d P2 = \frac{a[y[i+1]]}{sum} * \frac{a[y[i]]}{sum+d} P2=suma[y[i+1]]sum+da[y[i]]
这样直接按照输入顺序处理就可以了

至于分数的处理
要么高精度
要么处理出它的质因数分解
对于每一个质因数 pr1 / pr2 = pr1-r2

NOI2006是指2006年的全国信息学奥林匹克竞赛。"聪明的导游"是一道在比赛中出现的题目,需要我们编写程序进行求解和数据分析。 首先,我们需要从官方网站或相关渠道下载与“聪明的导游”题目相关的数据。这些数据可能包括景点的名称、编号、导游线路的长度、舒适度,以及可能的限制条件和特殊要求等。 接下来,我们可以使用编程语言(如C++、Python等)来编写一个程序,对这些数据进行处理和分析。这个问题可以被抽象为一个图论问题,其中景点可以表示为图中的节点,导游线路可以表示为图中的边。 我们可以使用图的遍历算法(如深度优先搜索或广度优先搜索)来寻找最佳的导游线路。我们可以用一个数组和一个矩阵来表示该导游线路,其中数组存储已经访问过的景点,矩阵表示两个不同景点之间的距离。 在程序中,我们可以使用适当的数据结构来存储和处理这些数据,例如数组、图、队列等。我们可以使用动态规划等算法来优化计算效率,从而找到最优的导游线路。 最后,我们可以根据程序的运行结果分析和展示最佳导游线路的路径和特点。我们可以输出导游线路的长度、各个景点的编号和名称,以及其舒适度等信息。 总之,要下载NOI2006比赛中的“聪明的导游”题目数据,我们需要从官方渠道获取相关数据,编写一个程序来处理和分析这些数据,最终找到最佳导游线路的解决方案。通过合理的算法设计和数据结构选择,我们可以有效地解决这个问题。
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