51nod 1603 限高二叉排序树

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（单纯本人记录一下学习效果，不提供具体解析了）

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=1e5+10;
ll dp[40][40];//n表示个数h表示高度
//重点二叉树，满足卡特兰数
/*
卡特兰数公式
1.   f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + f(2)*f(n-3)......+f(n-1)*f(0).



2.    f(n) = f(n-1)*(4*n-2) / (n+1).



3.     f(n) = C(2n,n)/(n+1)



4.     f(n) = C(2n,n) - C(2n,n-1).


*/
int main()
{
    int n,h;
    cin>>n>>h;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        dp[0][i]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            for(int k=1;k<=i;k++)
            {
                dp[i][j]+=dp[k-1][j-1]*dp[i-k][j-1];
            }
        }
    }
    cout<<dp[n][n]-dp[n][h-1]<<endl;
    return 0;
}

卡特兰数的一般应用场合如下
一、一个关于找零的经典问题
2n个人排队买票，其中n个人持50元，n个人持100元。每张票50元，且一人只买一张票。初始时售票处没有零钱找零。请问这2n个人一共有多少种排队顺序，不至于使售票处找不开钱？
这个问题换而言之就是，服务过的持50的客户数量一定要大于等于持100的。解决的思路大致如下：
其实上面的解法本质就是卡特兰数：
所谓的卡特兰数就是满足下面式子：
卡特兰数的前几项是1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430
二、括号匹配问题
给你2*n个括号，当然是n个左括号，n个右括号，这样才能匹配。问有多少种匹配方式，
显然和上面的找零问题基本是完全一样的。完全符合卡特兰数的特征。
三、出栈的次序
给你n个数，进栈的序列是1,2,3,4,……n，有多少个不同的出栈次序
其实把入栈看成一个左括号，出栈看成一个右括号，那么上面这个问题又转化为上面的括号匹配的问题，所以又可以直接使用卡特兰数解决。
四、不同的二叉搜索树
给定节点组成二叉树：给定n个点，能构成多少种不同的二叉树。
一个二叉树由三部分组成根节点，左子树，右子树。左子树的节点个数可能是0,1,2,3,…n-1,相应的右子树的节点个数可能是n-1,n-2,n-3,……3,2,1,0.由于左子树和右子树是独立的，
所以满足乘法原则。根据左子树的不同的节点数会产生不同的情况，满足加法原则所以f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0） 也符合卡特兰数