2023.11.4NOIP模拟赛第一题 花菖蒲

题意：
判断是否存在一棵树，满足它有 $a$ 个一度点和 $b$ 个三度点，如果存在请给出一个节点数不超过 $2000$ 的构造，否则输出 $0$ 。

首先我们来分点考虑：

• 对于 $Subtask2：b=0$ 的情况

  • 考虑如下情况：
    1. 对于 $a=0$ 的情况，直接输出 $1$ 即可（即只有一个节点）。
    2. 对于 $a=1$ 和 $a=3$ 的情况，我们无法构造，输出 $0$ 。
    3. 对于不同于以上三种的情况，考虑菊花图。即 $1$ 号节点向外发散 $a$ 个点，可以构造出满足题意的树

• 对于 $Subtask3:b=a-2$ 的情况

  • 可以构造出这样一棵树：
    • 对于奇数号的节点，它们都有左右儿子，而偶数号节点它们左右儿子都没有。即形如 $1$ 号节点的左儿子为 $2$ 号节点，右儿子为 $3$ 号节点， $1$ 号节点的右儿子 $3$ 号节点又有左儿子为 $4$ 号节点，右儿子为 $5$ 号节点，以此类推……
    • 通过这样的方式，我们发现其实只有 $1$ 号节点是附加的，是一个二度点，其他的点要么是一度点，要么是三度点。这样构造下来刚好有 $a$ 个一度点和 $b$ 个三度点。那么对于 $0\le a,b\le 200$ 的数据，这棵树的节点不会超过 $401$ 个点，符合题意。

• 现在来考虑对于全部的数据：
  我们可以从 $Subtask3:b=a-2$ 得到启发，只要首先满足三度点的个数要求，构造出一棵形如 $Subtask3$ 的数据的树，再来考虑剩余的一度点。

  • 考虑如下情况：
    1. 无解情况
    可以注意到除了两个 $1$ 度点，树上的点的平均度数为 $2$ 。所以显然有 $a<b+2$ 的时候无解。
    2. 剩下的一度点节点数为 $1$。
    它既不能放在一度点，因为毫无作用，也不能放在二度点，因为会使二度点变成三度点，也不能放在三度点，因为会使三度点的个数减少。所以无法构造，直接输出 $0$ 。
    3. 剩下的一度点个数大于 $1$ 。
    直接往一号节点处放置即可。即往一号节点（唯一的二度点）添加儿子，它属于一个公用点，哪里需要往哪搬，它并不计入需要的一度点或三度点个数中，只要添加的不止一个儿子就行。

  对于上面这种构造方法，其实也符合 $Subtask1$ 的情况，那么最终的总的节点个数为 $a+b+1$ 个点，只要有解就一定不会超过限制。时间复杂度 $O(a+b)$ 。

不知我的做法有没有问题，考场通过了，欢迎来hack。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll a,b;
int main() 
{
    // freopen("irises.in","r",stdin);
    // freopen("irises.out","w",stdout);
    cin>>a>>b;
    if(a<b+2)
    {
        cout<<0;
        return 0;
    }
    if(b==0)
    {
        if(a==0)
        {
            cout<<1;
            return 0;
        }
        if(a!=3)
        {
            cout<<a+1<<endl;
            for(int i=2;i<=a+1;i++)
            {
                cout<<1<<" "<<i<<endl;
            }
            return 0;
        }
    }
    if(b==a-2)
    {
        ll cnt=0;
        cout<<a+b+1<<endl;
        for(int i=1;i<=a+b-1;i+=2)
        {
            if(cnt<a+b) cout<<i<<" "<<i+1<<endl,cnt++;
            if(cnt<a+b) cout<<i<<" "<<i+2<<endl,cnt++;
        }
        return 0;
    }
    if(a-b-2<2)
    {
        cout<<0;
        return 0;
    } 
    ll cnt=0;
    cout<<a+b+1<<endl;
    for(int i=1;i<=b+b+2-1;i+=2)
    {
        if(cnt<b+b+2) cout<<i<<" "<<i+1<<endl,cnt++;
        if(cnt<b+b+2) cout<<i<<" "<<i+2<<endl,cnt++;
    }
    cnt++;
    for(int i=1;i<=a-b-2;i++)
    {
        cout<<1<<" "<<cnt+i<<endl;
    }
    return 0;
}