莫比乌斯反演学习笔记

莫比乌斯函数

定义莫比乌斯函数：

$$\mu (n)=\{\begin{array}{l}1,n=1\\ (-1{)}^k,n=p_1{p}_2{p}_3\dots p_k且p_i为互异质数\\ 0,其他情况\end{array}$$

性质一

对于任意正整数 $n$ 有：

$$\sum _{d|n}\mu (d)=\{\begin{array}{l}1,n=1\\ 0,n>1\end{array}$$

证明：

• 当 $n=1$ 时显然正确

• 当 $n\ne 1$ 时，可以将 $n$ 分解得到 $n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\dots p_k^{a_k}$

  在 $n$ 的所有因子中， 值不为零的只有所有质因子次数都为 $1$ 的因子，那么就有：

  $$\begin{array}{rl}\sum _{d|n}\mu (d)=& C_k^0-C_k^1+C_k^2-C_k^3+\cdots +(-1{)}^k{C}_k^k\\ =& \sum _{i=0}^k(-1{)}^i{C}_k^i\end{array}$$

  容易发现其形式类似于二项式定理，可以由：
  $$(x+y{)}^n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i{x}^i{y}^{n-i},n\in N^{\ast }$$
  令 $x=-1,y=1$ 得到：
  $$(-1+1{)}^n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i(-1{)}^i{1}^{n-i}=0,n\in N^{\ast }$$

  证毕.

  此处可以将该性质化为下面这种形式（这才是真正意义上的莫比乌斯函数），以便于下文利用：
  $$\sum _{d|n}\mu (d)=\left[n=1\right]$$

  其中等号右边的的方括号是艾弗森括号，若括号内的表达式成立则值为 $1$，否则为 $0$。

性质二

莫比乌斯函数是不完全积性函数，即：
$$\mu (x\ast y)=\mu (x)\ast \mu (y),gcd(x,y)=1$$

积性函数的性质：

1. $\mu (1)=1$.
2. 积性函数的前缀和也是积性函数.

性质三

对于任意正整数 $n$ 有：
$$\sum _{d|n}\frac{\mu (d)}{d}=\frac{\varphi (n)}{n}$$

通过下面的莫比乌斯反演证明，可以先看下文，因为这个结论不重要 ，由：
$$\begin{gathered} F(n)=\sum _{d|n}f(d) \\ f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)F(\frac{n}{d}) \end{gathered}$$

令 $f(n)=\varphi (n),F(n)=n$，则：
$$\begin{array}{rl}\varphi (n)=& \sum _{d|n}\mu (d)\ast \frac{n}{d}\\ =& n\ast \sum _{d|n}\frac{\mu (d)}{d}\end{array}$$

最后移项得：
$$\sum _{d|n}\frac{\mu (d)}{d}=\frac{\varphi (n)}{n}$$

证毕.

至于为什么中间过程可以设 $f(n)=\varphi (n),F(n)=n$，则需要证明对于任意正整数 $n$ 有：
$$\sum _{d|n}\varphi (d)=n$$

证明如下：
容易得到
$$\sum _{d|n}\varphi (d)=\sum _{\frac{n}{d}\mid n}\varphi (d)=\sum _{d|n}\varphi (\frac{n}{d})$$

对于任意的 $d|n$，$1\le a\le n$，设 $gcd(a,n)=d$，则 $gcd(\frac{a}{d},\frac{n}{d})=1$.

一方面数 $a$ 有 $n$ 个，另一方面按照 $d=gcd(a,n)$ 分类计数，满足 $gcd(a,n)=d$ 的数 $a$ 有 $\varphi (\frac{n}{d})$ 种取法.

因此有 $$\sum _{d|n}\varphi (\frac{n}{d})=n$$

证毕.

莫比乌斯反演定理

形式

对于任意正整数 $n$，若：
$$F(n)=\sum _{d|n}f(d)$$

则：
$$f(n)=\sum _{d|n}F(d)\mu (\frac{n}{d})$$

证明方法：狄利克雷卷积

在这里只给出简单证明，详细的可以查看CJX的博客了解。
我们知道狄利克雷卷积的形式：
$$\sum _{d|n}f(d)\epsilon (\frac{n}{d})$$

单位元

什么是单位元？对于一种运算 $\oplus$ ，若存在函数 $\epsilon$ 使得：
$$f\oplus \epsilon =g\oplus \epsilon =f$$

那我们就称函数 $\epsilon$ 为 $f$ 的单位元。

例如加法运算的单位元为 $0$，因为 $0$ 加上任何数都等于原数。
而乘法运算的单位元为 $1$，因为 $1$ 乘上任何数都等于原数。

那么狄利克雷卷积的单位元 $\epsilon$ 是什么？ 看以下推导：
要使
$$\sum _{d|n}f(d)\epsilon (\frac{n}{d})=f(n)$$

将 $n$ 这一项提取出来，则
$$f(n)\epsilon (1)+\sum _{\begin{array}{c}d|n\\ d\ne n\end{array}}f(d)\epsilon (\frac{n}{d})=f(n)$$

显然对于狄利克雷卷积的单位元函数 $\epsilon (n)$，当 $n=1$ 时，$\epsilon (n)=1$；当 $n\ne 1$ 时，$\epsilon (n)=0$，才能使得上式成立。

因此我们可以得到狄利克雷卷积的单位元函数是 $\epsilon (n)=[n=1]$.

逆元

对于单位元函数 $\epsilon$，如果有 $f\oplus g=\epsilon$，则称 $f$ 和 $g$ 互为逆元，可以把 $g$ 写成 $f^{-1}$.

那么就有 $f\oplus g=\epsilon \Rightarrow f=\epsilon \oplus g^{-1}$.

证明

考虑运用上述性质一：$\sum _{d|n}\mu (d)=\left[n=1\right]$.

我们发现它的形式和狄利克雷卷积的形式很像，我们把它写成狄利克雷卷积的形式，就有：
$$\sum _{d|n}\mu (d)I_1(\frac{n}{d})$$

这里为了符合狄利克雷卷积的形式，我们定义了一个函数 $I_1$，把它写在式子的右边。

我们惊奇的发现莫比乌斯函数 $\sum _{d|n}\mu (d)$ 其实就是狄利克雷卷积的单位元，那么什么样的函数可以与单位元互为逆元呢？

显然是常函数 $I_1(x)=1$.

给 $F(n)=\sum _{d|n}f(d)$ 乘上一个常函数 $I_1$（对 $F(n)$ 没有影响），那么就有：
$$\begin{gathered} F(n)=\sum _{d|n}f(d)\ast I_1(\frac{n}{d}) \\ \Rightarrow f(n)=\sum _{d|n}F(d)\ast I_1^{-1}(\frac{n}{d}) \\ \Rightarrow f(n)=\sum _{d|n}F(d)\mu (\frac{n}{d}) \end{gathered}$$

得证.

应用情境

对于一些函数 $f(n)$，如果我们很难直接求出它的值，而容易求出倍数和或约数和 $F(n)$，那么我们可以通过莫比乌斯反演来求得 $f(n)$ 的值。