力扣213题详解：打家劫舍 II 的动态规划解决方案与多种解法解析

最新推荐文章于 2025-04-11 20:00:00 发布

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在本篇文章中，我们将详细解读力扣第213题“打家劫舍 II”。通过学习本篇文章，读者将掌握如何使用动态规划来解决这一问题，并了解相关的复杂度分析和模拟面试问答。每种方法都将配以详细的解释，以便于理解。

问题描述

力扣第213题“打家劫舍 II”描述如下：

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都围成一圈，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你在不触动警报装置的情况下，能够偷窃到的最高金额。

示例:
输入: nums = [2,3,2]
输出: 3
解释: 你不能先偷窃 1 号房屋(金额 = 2)然后偷窃 3 号房屋(金额 = 2), 因为他们是相邻的。
示例:
输入: nums = [1,2,3,1]
输出: 4
解释: 你可以先偷窃 1 号房屋(金额 = 1), 然后偷窃 3 号房屋(金额 = 3).
偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

解题思路

方法：动态规划

初步分析：
- 因为房屋是围成一圈的，第一个房屋和最后一个房屋不能同时被偷。
- 可以将问题分解为两个子问题：偷窃 nums[0] 到 nums[n-2] 的房屋和偷窃 nums[1] 到 nums[n-1] 的房屋，最后取两者中的最大值。
步骤：
- 定义一个辅助函数 rob_linear，用于计算不围成圈的房屋的最大偷窃金额。
- 使用动态规划，定义 dp[i] 表示偷窃到第 i 间房屋时的最大金额。
- 计算偷窃 nums[0] 到 nums[n-2] 的房屋的最大金额。
- 计算偷窃 nums[1] 到 nums[n-1] 的房屋的最大金额。
- 返回两者中的最大值。

代码实现

def rob(nums):
    if len(nums) == 1:
        return nums[0]
    
    def rob_linear(nums):
        prev1, prev2 = 0, 0
        for num in nums:
            temp = max(prev1, prev2 + num)
            prev2 = prev1
            prev1 = temp
        return prev1
    
    return max(rob_linear(nums[:-1]), rob_linear(nums[1:]))

# 测试案例
print(rob([2, 3, 2]))  # 输出: 3
print(rob([1, 2, 3, 1]))  # 输出: 4
print(rob([0]))  # 输出: 0

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组的长度。每个房屋最多被访问两次，一次用于偷窃 nums[0] 到 nums[n-2]，一次用于偷窃 nums[1] 到 nums[n-1]。
空间复杂度：O(1)，只使用了常数个额外空间。

模拟面试问答

问题 1：你能描述一下如何解决这个问题的思路吗？

回答：我们可以使用动态规划来解决这个问题。因为房屋是围成一圈的，第一个房屋和最后一个房屋不能同时被偷。可以将问题分解为两个子问题：偷窃 nums[0] 到 nums[n-2] 的房屋和偷窃 nums[1] 到 nums[n-1] 的房屋，最后取两者中的最大值。使用动态规划，定义 dp[i] 表示偷窃到第 i 间房屋时的最大金额。

问题 2：为什么选择使用动态规划来解决这个问题？

回答：动态规划是一种高效的技术，适用于解决最优子结构和重叠子问题的问题。通过使用动态规划，可以在 O(n) 的时间复杂度内找到最大偷窃金额，性能更高。

问题 3：你的算法的时间复杂度和空间复杂度是多少？

回答：算法的时间复杂度是 O(n)，其中 n 是数组的长度。每个房屋最多被访问两次，一次用于偷窃 nums[0] 到 nums[n-2]，一次用于偷窃 nums[1] 到 nums[n-1]。空间复杂度是 O(1)，只使用了常数个额外空间。

问题 4：在代码中如何处理边界情况？

回答：如果数组长度为 1，可以直接返回数组的第一个元素。对于其他情况，通过分解为两个子问题进行处理。

问题 5：你能解释一下动态规划的工作原理吗？

回答：动态规划是一种通过将复杂问题分解为更小的子问题来解决问题的方法。通过定义状态和状态转移方程，可以逐步构建问题的解决方案。在本题中，定义 dp[i] 表示偷窃到第 i 间房屋时的最大金额，通过状态转移方程计算每个状态，最终得到最大偷窃金额。

问题 6：在代码中如何确保返回的结果是正确的？

回答：通过定义状态和状态转移方程，计算每个状态的最大金额，确保返回的结果是正确的。通过处理两个子问题，分别计算偷窃 nums[0] 到 nums[n-2] 的房屋和偷窃 nums[1] 到 nums[n-1] 的房屋的最大金额，最后取两者中的最大值。

问题 7：你能举例说明在面试中如何回答优化问题吗？

回答：在面试中，如果面试官问到如何优化算法，我会首先分析当前算法的瓶颈，如时间复杂度和空间复杂度，然后提出优化方案。例如，可以通过减少不必要的操作和优化数据结构来提高性能。解释其原理和优势，最后提供优化后的代码实现。