简单介绍一下KDT/K-D Tree

KDT介绍

KDT/K-D Tree（K-Dimension Tree，K维树）是一种高效处理K维空间信息的数据结构，其可以看做二叉树在K维空间的扩展，它主要用于多维空间关键数据的搜索。KDT是一种特殊的二进制空间分割树，每个节点都表示k维空间中的一个点，并且所有非叶子节点可以用一个超平面将空间分割成两个半空间。节点左边的子树代表在超平面左边的点，节点右边的子树代表在超平面右边的点。

相较于二叉树只需要根据一维数据进行划分，KDT交替的使用某一维的数据进行划分。

应用场景

• 激光SLAM处理三维点云数据
• 维护高维度信息、处理偏序问题
• KNN的一种实现方法

算法解析

构建KDT

已知K维空间内有n个不同的点坐标，构建K-D Tree的方法如下：

1. 若当前超立方体中只有一个点，则返回这个点。
2. 选择一个维度，将当前超立方体按照这个维度分成两个超立方体。
3. 选择切割点：在选择的维度上选择一个点，在这个维度上，值小于这个点的，归入左超立方体（左子树），其余归入右超立方体（右子树）。
4. 将选择的点作为该子树的根节点，递归上述操作。

最近邻搜索

首先使用类似于二分搜索的方式从根节点开始向下搜索，直到找到叶子节点，期间将访问过的节点都加入到一个栈(Stack)中，同时记录最短距离；找到叶子节点后开始回溯，依次从栈中弹出之前的访问过的节点，判断以待查询点为球心，当前最短距离为半径的超球面，与分割面是否有相交，如果相交则进入该节点的另一个分支，继续执行二分搜索，直到搜索到叶子节点，以此循环往复，直到超球面与分割面没有相交。

插入新节点

借鉴了替罪羊树的思想，替罪羊树是一种自平衡树，但它不是严格意义上的平衡树，而是允许一定的失衡，失衡的程度用一个常数α表示。当失衡时重建整个子树，被重建的子树的根节点就是“替罪羊”节点。虽然重构的代价较大，但是并不是每次插入新节点都会引发重构操作，所以使用这样一种代价较大但是次数较少的重构方式。

补充说明

超立方体

采用类比的方法理解

1. 正方形是四条长度相等的一维图形围成的二维图形。其四条边首尾相连，每个端点由两条线段共用。
2. 正方体是六个面积相等的二维图形围成的三维图形。其六个面首尾相连，每个棱由两个面共用。
3. 不难得出：超立方体是八个体积相等的三维图形围成的四维图形。其八个体首尾相连，每个面由两个体共用。

维度选择

K维轮流法

大方差优先法

随机划分法

选中位数

只需要找出部分数组的中位数就可以了，即找出第k大的数

代码模板

// KDT建树，作者还没写