KD - Tree 学习笔记

（这本是 P4169 的一篇无法提交的题解）

而 KD - Tree 本身在竞赛中的应用就比较少，又几乎不作为正解出现，所以这里只拿一道例题来举例讲解

题意：

给定一个二维点集 S ，每次有两种操作：

操作 1 ： 往点集 S 中加入一个点

操作 2 ： 给定一个点 $(x,y)$ ，询问该点到点集 S 中每个点曼哈顿距离的最小值

两点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 之间的曼哈顿距离定义为：

$$|x_1-x_2|-|y_1-y_2|$$

题解：

这题正解是一个 $O((n+m){\log }_2^2(n+m))$ 复杂度的做法，需要用到 CDQ 分治

不过既然是 KD - Tree 的学笔，我们就用 KD - Tree 来做这道题

首先来介绍一下 KD - Tree ：

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1. 定义 & 前置知识

KD - Tree ，原名 K - Dimension Tree ，是一种可以高效处理 k 维空间信息的数据结构

（然而 OI 中很少考到高维的 DS 题目）

（微信步数显然不是 DS 题目吧）

所以 KD - Tree 在 OI 中的应用大多数是二维（例如这道题），少数会有三维

而且 KD - Tree 据说可以配合其它的一些算法 比如乱搞 来获得较高分数

在学习 KD - Tree 之前，你需要了解如下东西：

• 平衡树（这里特指替罪羊树）

• STL 中的 nth_element 函数

没了，就这些，所以 KD - Tree 的入门是比较简单的，学会了上手就会很快

2. 建树过程

类似平衡树，KD - Tree 是一种 BST

但是和 BST 不同，在 k 维空间中，KD - Tree 每个结点参与比较的键值是有 k 个的（即每一维的坐标）

不过 KD - Tree 在检索的时候仍然能保证一定的次序

我们只需要在每一个深度都定义一个参与比较的维度，那么这样在检索时，每次究竟是往左子树走还是往右子树走，只要看这个点在当前检索到的深度的“比较维度”上的键值是多少即可

建树的算法已经给你了，关键是如何选择恰当的方式优化，避免像 BST 一样退化成链

那么有两个问题：

1. 每个深度怎样选维度？

2. 每个深度选好维度后怎样选点？

对于第一个问题，我们可以选择 1 ~ k 维轮流来

但是有一种更优的选择方式：选择方差最大的一维，具体证明不明，而且实现据说极为复杂

（识相点就选第一种吧，反正很少有出题人会想到要卡你）

对于第二个问题，显然选这个维度的中位数即可，这样左右两边的结点数是相等的

以上两种方式基本可以保证建树时间复杂度为 $O(n{\log }_{2}n)$，深度为 $O({\log }_{2}n)$

具体实现时，中位数可以使用 STL 中的 nth_element 函数，不会影响复杂度，用法请上网查找

这样讲会很抽象，给一张例图：

首先我们以横坐标为关键字，找到这一维的中位数

排序后即为：

$$A,H,C,B,E,D,G,F$$

我们选择中位数 B 作为根节点，此时可以把所有点分成两个部分：

那么我们递归处理左右子树，此时关键字变成纵坐标

左子树排好序后为： $A,C,H$