（3）Diffie-Hellman算法介绍及核心部分数学验证（简介）

1. 背景介绍：
        Diffie-Hellman算法是Whitfield Diffie（惠特菲尔德·迪菲）和Martin Hellman（马丁·赫尔曼）在1976年提出。二者在2016年还获得了2015年度图灵奖，以表彰他们在密码学领域的突出贡献。这算法干了个啥呢？——在收发双方本地生成对称密钥，巧妙地避开了对称密钥管理难的问题。

2. 核心原理：
        step1：A：随机选底数g，素数p，秘密整数a，计算S_A=g ^ a (mod p)；
        step2：A：共享g, p, S_A；传给B；
        step3：B：随机选秘密整数b，计算S_B = g ^ b (mod p);
        step4：B：共享S_B;
        step5：A计算密钥S=S_B ^ a (mod p)=g ^ b(mod p) ^ a (mod p) = g^(b*a) mod p；
        step6：B计算密钥S=S_A ^ b (mod p)=g ^ a(mod p) ^ b (mod p) = g^(a*b) mod p

如此，A，B双方就得到了一样的对称密钥，而第三方只能拿到g, p, S_A, S_B，在不知道a，b选值的情况下是没办法推算出对称密钥的值的。

3.数学验证：
        在上述原理中，标红部分的内容是很多人在查询DH算法的时候，经常会看到的，也是整个原理逻辑的核心部分。不知道大家是不是第一反应就能明白？笔者自学的时候，这部分一开始始终不明白，后来有看到一篇解释论证的文章，才明白。借此整理共享：
        step1：令r_1 = g ^ b mod p; r_0 = r_1 ^ a mod p
        step2：g ^ b = k*p + r_1,k为整数；r_1=g^b-k*p
        step3：r_0 = r_1 ^ a mod p = (g ^ b - k*p) ^ a mod p；令r_3= (g ^ b - k*p) ^ a
        step4：根据二项式展开定理把r_3展开，得到：

        step5：上述展开式中，含(-k*p)的非零次方的项对p求余都为0，故r_0对p求余结果如下：

        step6：即r_0 = g ^ b (mod p) ^ a mod p = g ^ b ^ a mod p = g ^ (b * a) mod p

4.数学知识：
        本质：求解离散对数太难了
        定义：对于一个整数b和素数p的一个原根a，可以找到唯一的指数i，使得b=a^i mod p，且0<= i <=p-1；则指数i称为b的以a为基数的模p的离散对数或者指数。
        理论依据：给定质数p和底数g，已知y=g ^ i (mod p)的值，反向求解i，很难很难。但如果知道p、g、i，正向求解y，很简单很简单。