15、线性模型与图论中的定理证明与相关概念解析

线性模型与图论中的定理证明与相关概念解析

1. 多项式与部分协方差的归纳证明

1.1 归纳假设

假设对于 pc - 阶为 (n - 1) 的多项式，引理成立。设 (Q) 是一个 pc - 阶为 (n) 的多项式。部分协方差的递归公式为：
(\gamma_{ij.Y\cup r} = \gamma_{ij.Y} - \frac{\gamma_{ir.Y}\gamma_{jr.Y}}{\gamma_{rr.Y}})

1.2 多项式的转换

使用上述递归公式，将 (Q) 中出现的每个 pc - 阶为 (n) 的协方差替换为 pc - 阶为 (n - 1) 的协方差的代数组合，形成 (Q’)。然后将 (Q’) 乘以 (Q’) 中所有项的最低公分母，得到一个 pc - 阶为 (n - 1) 的多项式 (Q’‘)。

1.3 等价性证明

根据归纳假设，(Q’‘) 等价于独立变量的线性系数和方差的多项式方程。因此，部分协方差的多项式方程等价于独立变量的线性系数和方差的多项式方程。

1.4 部分相关系数的等价性

根据定义，(\rho_{ij.X} = \frac{\gamma_{ij.X}}{\sqrt{\gamma_{ii.X}\gamma_{jj.X}}})，所以 (\rho_{ij.X} \pm 1 = 0) 是部分协方差的多项式方程，它等价于独立变量的线性系数和方差的多项式方程，进而 (\rho_{ij.X}) 也等价于独立变量的线性系数和方差的多项式方程。

2. 定理 3.2 的证明

2.1 定理陈述