【单调队列】笔记

文章介绍了单调队列这一数据结构,它在保持队列元素单调性的基础上进行插入和删除操作。单调队列常用于动态规划的优化,例如在滑动窗口问题和区间最值查询中。文中通过示例和代码展示了如何维护单调队列以及如何利用它来优化状态转移方程,提高算法效率。

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2. 单调队列

单调队列是一个重要的知识点,不仅可以用于DP的优化,还是斜率优化的基础知识(斜率优化有多恶心我就不说了吧)

首先,让我们来了解一下,什么是单调队列

2.1. 单调队列简介

队列,大家都知道是什么,是一种先进先出的数据结构

那么,单调队列是什么呢?

单调队列,在队列的基础上,还保证了队列中元素的单调性

举个例子:

在这里插入图片描述

这就是一个单调队列

在这里插入图片描述

这不是一个单调队列

单调队列的元素删除和普通队列的元素删除是一样的,但是,单调队列的元素插入和普通队列的元素插入可就不一样了

2.1.1. 单调队列的元素插入

我们先用文字来描述一下单调队列的元素插入:

假设我们要插入元素 s s s,判断:如果插入元素 s s s 后队列不满足单调性,则弹出队尾的元素,然后继续判断;否则,插入元素 s s s

让我们用一些图片来解释一下

在这里插入图片描述

左边是当前的单调队列,右边是我们要插入的元素 5 5 5

比较: 7 > 5 7>5 7>5,说明此时插入 5 5 5 无法满足队列的单调性,则弹出队尾元素 7 7 7

在这里插入图片描述

比较: 4 < 5 4<5 4<5,说明此时插入 5 5 5 可以满足队列的单调性,插入元素 5 5 5

在这里插入图片描述

关于单调队列本身,其实就已经讲完了

2.1.2. 模板代码

我们用一道水题来引入代码:

Eg_1 滑动窗口 /【模板】单调队列

我们既可以选择用两个单调队列分别维护最小值和最大值,也可以先维护最小值,在将队列初始化后,维护最大值

蒟蒻选择了后者

代码如下:

#include<cstdio>
int n,m;
int a[1000005];
int head=1,tail;
int q[1000005];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(i-q[head]>=m&&head<=tail){//此时的队首元素下标不在目前的区间范围内,就没有必要再留着了
			head++;
		}
		while(a[q[tail]]>=a[i]&&head<=tail){//维护最小值
			tail--;
		}
		q[++tail]=i;
		if(i>=m){
			printf("%d ",a[q[head]]);
		}
	}
	printf("\n");
	head=1,tail=0;//初始化
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(i-q[head]>=m&&head<=tail){
			head++;
		}
		while(a[q[tail]]<=a[i]&&head<=tail){//维护最大值
			tail--;
		}
		q[++tail]=i;
		if(i>=m){
			printf("%d ",a[q[head]]);
		}
	}
	return 0;
}

2.2. 单调队列优化

从上述的模板题中,我们可以发现:单调队列可以极快地求出区间范围内的最小(大)值

在某些DP中,我们就可以使用单调队列来优化

Eg_2 [USACO11OPEN]Mowing the Lawn G

2.2.1. 朴素DP

定义状态:

我们设dp[i][0]为不选择第 i i i 头奶牛的最大效率值,dp[i][1]为选择第 i i i 头奶牛的最大效率值

最终答案存储在max(dp[n][0],dp[n][1])

考虑状态转移方程式

显然,可以得到:

d p [   i   ] [   0   ] = max ⁡ { d p [   i − 1   ] [   0   ] , d p [   i − 1   ] [   1   ] } d p [   i   ] [   1   ] = max ⁡ { d p [   j   ] [   0   ] + ∑ k = j + 1 i E k } ( i − K ≤ j ≤ i ) dp[\ i\ ][\ 0\ ]=\max\{dp[\ i-1\ ][\ 0\ ],dp[\ i-1\ ][\ 1\ ]\}\\dp[\ i\ ][\ 1\ ]=\max\{dp[\ j\ ][\ 0\ ]+\sum\limits_{k=j+1}^{i}E_k\}(i-K\le j\le i) dp[ i ][ 0 ]=max{dp[ i1 ][ 0 ],dp[ i1 ][ 1 ]}dp[ i ][ 1 ]=max{dp[ j ][ 0 ]+k=j+1iEk}(iKji)

我们设 p r e [   i   ] = ∑ k = 1 i E k pre[\ i\ ]=\sum\limits_{k=1}^iE_k pre[ i ]=k=1iEk,则可以进一步化简转移方程式:

d p [   i   ] [   1   ] = max ⁡ { d p [   j   ] [   0   ] + p r e [   i   ] − p r e [   j   ] } dp[\ i\ ][\ 1\ ]=\max\{dp[\ j\ ][\ 0\ ]+pre[\ i\ ]-pre[\ j\ ]\} dp[ i ][ 1 ]=max{dp[ j ][ 0 ]+pre[ i ]pre[ j ]}

时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

2.2.2. 单调队列优化DP

为了让单调队列派上用场,我们要进一步化简状态转移方程式:

d p [   i   ] [   1   ] = p r e [   i   ] + max ⁡ { d p [   j   ] [   0   ] − p r e [   j   ] } dp[\ i\ ][\ 1\ ]=pre[\ i\ ]+\max\{dp[\ j\ ][\ 0\ ]-pre[\ j\ ]\} dp[ i ][ 1 ]=pre[ i ]+max{dp[ j ][ 0 ]pre[ j ]}

因为 i − K ≤ j ≤ i i-K\le j\le i iKji,所以,方程式里的后面一坨就相当于求区间 [ i − K , i ] [i-K,i] [iK,i] 内, d p [   j   ] [   0   ] − p r e [   j   ] dp[\ j\ ][\ 0\ ]-pre[\ j\ ] dp[ j ][ 0 ]pre[ j ] 的最大值

这就可以运用单调队列了来优化了

代码如下:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long int n,m,head,tail;
long long int q[100005];
long long int a[100005],pre[100005];
long long int dp[100005][2];
int main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&a[i]);
		pre[i]=pre[i-1]+a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]);//先求dp[i][0]
		while(i-q[head]>m&&head<=tail){//维护队首
			head++;
		}
		dp[i][1]=pre[i]+dp[q[head]][0]-pre[q[head]];//队首即为最优解,用它来求解dp[i][1]
		while(dp[i][0]-pre[i]>dp[q[tail]][0]-pre[q[tail]]&&head<=tail){//维护队尾
			tail--;
		}
		q[++tail]=i;
	}
	printf("%lld",max(dp[n][0],dp[n][1]));
	return 0;
}
<think>好的,我现在要处理用户关于单调队列的学习资料请求。用户需要详细的资料,包括例题、思维导图、练习思路,适用于信奥学生。首先,我需要回顾单调队列的基本概念和应用场景,确保自己理解正确。 首先,单调队列是一种数据结构,常用于维护滑动窗口中的极值。比如在滑动窗口最大值问题中,单调队列可以在O(n)的时间复杂度内解决,这比暴力法的O(nk)高效很多。用户可能需要了解其基本操作,比如如何保持队列的单调性,以及入队和出队的规则。 接下来是例题部分。常见的例题包括滑动窗口最大值、求区间最小值和最大子序列和等。需要选择几个典型的题目,并给出解题思路和代码示例。例如,滑动窗口最大值可以用单调队列维护当前窗口内的最大值,每次窗口滑动时更新队列。 然后是思维导图。这部分需要组织单调队列的核心知识点,比如定义、特性、操作步骤、应用场景和常见题型。思维导图应该层次分明,便于学生记忆和理解。 练习思路方面,应该分阶段设计题目。初级阶段可以包括基础的滑动窗口问题,中级阶段引入二维扩展或结合其他算法,高级阶段则涉及复杂问题如动态规划优化。这样学生可以逐步提升。 同时,用户提到参考了站内的两个引用,虽然内容似乎与单调队列无关,但可能需要适当关联或忽略。需要确保回答中的引用标识正确,例如引用[^1]和[^2],但实际内容中可能没有直接相关的,所以可能需要检查是否有误。 最后,生成相关问题,帮助用户进一步学习。问题应涵盖原理、优化、应用和对比等方面,比如单调队列与优先队列的区别,或者如何优化动态规划中的时间复杂度。 现在需要将这些内容整合成结构化的回答,确保符合用户的要求:使用中文,LaTeX格式正确,分点清晰,并包含相关问题。同时,注意引用标识的正确添加,虽然参考的引用可能与主题关联不大,但按照用户示例,可能在回答末尾添加引用。</think>### 单调队列学习指南 #### 一、基础概念 **单调队列**是一种特殊的队列,其内部元素始终保持单调递增或递减的特性,常用于维护**滑动窗口中的极值**。例如,在滑动窗口最大值问题中,时间复杂度可优化至$O(n)$,远优于暴力法的$O(nk)$。 --- #### 二、核心特性 1. **单调性**:队列元素按严格递增或递减排列。 2. **双端操作**:支持队头出队(维护窗口范围)和队尾出队(维护单调性)。 3. **高效性**:每个元素最多入队和出队一次,总时间复杂度$O(n)$。 --- #### 三、例题与解析 ##### 例题1:滑动窗口最大值(LeetCode 239) **问题**:给定数组和窗口大小$k$,返回每个窗口的最大值。 **思路**: - 使用递减队列存储**候选最大值索引**。 - 队头元素超出窗口范围时出队。 - 新元素入队前,移除队尾比它小的元素。 **代码示例**: ```python def maxSlidingWindow(nums, k): from collections import deque q = deque() result = [] for i, num in enumerate(nums): while q and nums[q[-1]] <= num: q.pop() q.append(i) if q[0] == i - k: q.popleft() if i >= k - 1: result.append(nums[q[0]]) return result ``` ##### 例题2:求区间最小值(洛谷P1886) **变型**:将队列改为单调递增,其余逻辑类似。 --- #### 四、思维导图 ```mermaid graph TD A[单调队列] --> B[定义] A --> C[特性] C --> C1[单调性] C --> C2[双端操作] A --> D[应用场景] D --> D1[滑动窗口极值] D --> D2[动态规划优化] D --> D3[最大子矩形问题] A --> E[操作步骤] E --> E1[去尾:维护单调性] E --> E2[删头:维护窗口范围] ``` --- #### 五、练习思路 1. **初级阶段** - 题目:滑动窗口最小值、连续子数组最大和。 - 目标:掌握基本操作和单调性维护。 2. **中级阶段** - 题目:二维滑动窗口极值(如LeetCode 1438)、带约束的极值问题。 - 目标:扩展至复杂场景,结合前缀和等技巧。 3. **高级阶段** - 题目:动态规划优化(如多重背包问题优化)、复杂数据结构结合。 - 目标:理解单调队列在优化时间复杂度中的作用。 ---
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