【中国剩余定理】笔记_m1+m2+m3-优快云博客

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文章介绍了中国剩余定理在解决一组特定类型的同余方程组中的应用。它给出了一个包含三个同余方程的例子，并详细解释了解决此类问题的步骤，包括设置方程、计算方法和证明过程。最后，文章通过一个具体的例子展示了如何运用这种方法找到方程的最小整数解。

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1. 一般形式

先拿一段古文作为引入：

今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?

这是一个同余方程组，让我们把它翻译一下：

${x≡2(mod3)x≡3(mod5)x≡2(mod7)\begin{cases}x\equiv2\pmod{3}\\x\equiv3\pmod{5}\\x\equiv2\pmod{7}\end{cases}$

而中国剩余定理就可以解决部分类似的同余方程组，具体来说：

${x≡a1(modb1)x≡a2(modb2)⋯x≡an(modbn)\begin{cases}x\equiv a_1\pmod{b_1}\\x\equiv a_2\pmod{b_2}\\\cdots\\x\equiv a_n\pmod{b_n}\end{cases}$

其中 $,bnb_1,b_2,\cdots,b_n$ 均两两互质

2. 使用方法

我们设： $M=∏i=1nbi,Mi=Mbi,MiMi−1≡1(modbi)M=\prod\limits_{i=1}^nb_i,M_i=\dfrac{M}{b_i},M_iM_i^{-1}\equiv1\pmod{b_i}$

则原方程最小整数解为 $Mx=(\sum\limits_{i=1}^na_i\times M_i\times M_i^{-1})\bmod M$

3. 证明

首先，假设 $x$ 是原方程的解，那么，对于方程组中的第 $i$ 个方程而言，都可进行如下分解：

$x≡ai(modbi)∑j=1naj×Mj×Mj−1≡ai(modbi)ai×Mi×Mi−1+∑j=1,j≠inaj×Mj×Mj−1≡ai(modbi)\begin{aligned}x&\equiv a_i\pmod{b_i}\\ \sum\limits_{j=1}^na_j\times M_j\times M_j^{-1}&\equiv a_i\pmod{b_i}\\ a_i\times M_i\times M_i^{-1}+\sum\limits_{j=1,j\ne i}^na_j\times M_j\times M_j^{-1}&\equiv a_i\pmod{b_i}\end{aligned}$

我们先来看最复杂的一团东西： $∑j=1,j≠inaj×Mj×Mj−1\sum\limits_{j=1,j\ne i}^na_j\times M_j\times M_j^{-1}$

考虑如何化简

首先，对于任意 $i,j(i≠j)i,j(i\ne j)$ 来说，都有 $bi∣Mjb_i\mid M_j$

显然，因为 $Mj=∏i=1nbibjM_j=\dfrac{\prod\limits_{i=1}^nb_i}{b_j}$ ，而 $i≠ji\ne j$ ，所以 $bi∣Mjb_i\mid M_j$ 成立

由此可得：

$Mj≡0(modbi)aj×Mj×Mj−1≡0(modbi)∑j=1,j≠inaj×Mj×Mj−1≡0(modbi)\begin{aligned}M_j&\equiv0\pmod{b_i}\\a_j\times M_j\times M_j^{-1}&\equiv0\pmod{b_i}\\\sum\limits_{j=1,j\ne i}^na_j\times M_j\times M_j^{-1}&\equiv 0\pmod{b_i}\end{aligned}$