竞赛题目讲解-【Standard IO】数的划分

【Standard IO】数的划分

---

（注册登录后详见：NOI在线题库：数的划分问题1）
题目描述
把正整数N分解成M个正整数的和，即使M个数相同但顺序不同也认为是不同的方案，要求总方案数。如3=1+2跟3=2+1是两个不同的方案。

输入
第一行包含两个整数N和M(1<=M<=N<=50)。
输出
输出一个数表示方案数。

样例输入

3 2

样例输出

2

数据范围限制
1<=M<=N<=50

---

题目解析
一、部分一——从深度优先搜索到记忆化搜索
如果只看这道题的描述，我们可能认为是一道深度优先搜索题，但是再看数据范围（虽然数据小但运算量惊人的大），明显用深度优先搜索会超时，那么广度优先搜索如何？然而数据之间并没有很强的连续性，所以广度优先搜索难以写出代码。那要如何写，这就要涉及到搜索的优化——记忆化搜索。记忆化搜索其实是深度优先搜索的一种，所以我们能够发现它的外部框架完全是深度优先搜索。它适用于许多数据中等的题，我们可以用数组（一维，二维甚至是三维，四维）来储存一些用公式连接起来的数据，其维数通常是涉及到的数据数量，每一维分别表示一个数据。
那么这道题用记忆化搜索怎么写呢？我们可以把深度优先搜索搜索改一下（深度优先搜索的源代码见文章尾部的程序样例），即“添加记忆”，一般来说是设置一些边界，通过这些边界求出各个元素的值，储存在容器（多为数组）中，若下次再次访问到这个元素，就直接调用容器中已有的值就行了。我们可以简单分析一下边界——
1. 因为是要拆分为正整数，所以被拆分数首先要是个正整数，也就是被拆分数≥1。所以第一个边界是当被拆分数＜1时，返回0。
2. 若只要求拆分出1个数，则必定是被拆分数本身。则第二个边界是当要求拆分的数量为1时，返回1。
3. 如果被拆分数和要求拆分出的数相等，则只能全部拆为1。则第三个边界为当被拆分数和要求拆分的数量相等，返回1。
然后因为是记忆化搜索，我们就用一个二维数组（F）作为容器。简单分析可以得出F[i][j]等于它所有分支的和。得出递归式-

F[i][j]=F[i-1][j-1]+F[i-2][j-1]+...+F[1][j-1]。

将递归式代入递归，然后储存入F数组里，调用并输出。

二、部分二——从记忆化搜索到动态规划
其实这道题在OJ里是分在动态规划的，也就是说它实际上是用动态规划来解题的。学过动态规划的同学可能知道，记忆化搜索其实也是动态规划的一种，它的形式类似于递归（有时候它也可以写成记忆化递归）。而众所周知，只要能用递归做的题递推也能做，从记忆化搜索到动态规划其实就是从递归到递推。
首先我们要将记忆化搜索中的边界以预处理的形式表现出来，然后我们分析一下记忆化搜索的作用——从一处倒退，分步求出每一个位置的值，最终得出答案。也就是说记忆化搜索是把所有位置的值求出来的方式，若要递推，我们可以从矩阵（数组）的左上角开始遍历（Tab：从左上角开始的原因一是方便，二是与已知边界值更加接近），根据预处理的边界依次推出各个元素的值，注意若该元素已经计算过（预处理过），则不要再次计算。
三、部分三——优化处理
说了这么多，我们最后也只输出一个答案，为何不把矩阵中所有元素的值都输出来呢（左上角开始编号）？

1|1
2|1 1
3|1 2 1
4|1 3 3 1
5|1 4 6 4 1
6|1 5 10