CodeForces 1187F Expected Square Beauty

题目

Expected Square Beauty

题目大意

若$x$是一个数列，定义函数$B(x)$表示：将数列中连续的相同的作为一段的段数。例如$B([3,3,6,1,6,6,6])=4$，现在有一个$n$个数的数组$a$，$a_i\in [l_i,r_i]$，$a$不确定，求$B(a{)}^2$的期望，期望是一个既约分数$\frac{p}{q}$，输出$p\cdot q^{-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10^9+1$。

分析

对于一个确定的数列$x$（$x$的长度为$n$）：
$B(x)$和下面定义的$T(i)$都是一个函数。
定义：若$x_i̸=x_{i+1}$，$T(i)=1$，否则$T(i)=0$，并规定$T(n)=1$。显然$B(x)=\sum _{i=1}^{n}T(i)$。
于是$B(x{)}^2={\left(\sum _{i=1}^{n}T(i)\right)}^2=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\left[T(i)T(j)\right]$。

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对于不确定的数列$a$：
$B(a{)}^2$和对应的$T(i)$自然成了随机变量。
所以我们要求的是这个随机变量的期望，即
$$E\left(\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\left[T(i)T(j)\right]\right)$$
由于期望可以加和，我们要求的变为了
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}E(T(i)T(j))$$

分两类讨论：

• $T(i)T(j)=1$时，意味着$a_i$跟$a_{i+1}$不一样，并且$a_j$跟$a_{j+1}$不一样
• $T(i)T(j)=0$时，即$T(i)=0$或$T(j)=0$或都等于$0$，表示的意义见定义

第二种情况对期望的贡献为$0$，不用考虑，只考虑第一种情况对期望的贡献：$1\times P(T(i)T(j)=1)=P(T(i)T(j)=1)$（$P(T(i)T(j)=1)$为$T(i)T(j)=1$发生的概率）
于是问题又变为了求$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}P(T(i)T(j)=1)$$
换句话说，如果事件$f(i)$表示$T(i)=1$，我们要求$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}P(f(i)f(j))$$（$P(f(i)f(j))$表示的是$T(i)=1$和$T(j)=1$这两件事同时发生的概率）

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• 显然$|i-j|\ge 2$时，$f(i)$与$f(j)$相互独立，则$P(f(i)f(j))=P(f(i))\cdot P(f(j))$，又因为$$P(f(i))=P(a_i和a_{i+1}不同)=1-P(a_i和a_{i+1}相同同)=\frac{|[l_i,r_i]\cap [l_{i+1},r_{i+1}]|}{(r_i-l_i+1)(r_{i+1}-l_{i+1}+1)}(1\le i\le n)$$所以此时$P(f(i)f(j))$可以求。

• 如果$|i-j|=1$即$i$，$j$相邻，$f(i)$和$f(i)$就相互有影响（想不清楚为什么有影响就再看$f(i)$和$T(i)$的定义）了，但是$P(f(i)f(j))$容斥一下也不难算：不妨设$j=i+1$，则$$P(f(i)f(j))=P(f(i)f(i+1))=1-P(a_i和a_{i+1}相同)-P(a_{i+1}和a_{i+2}相同)+P(a_i和a_{i+1}和a_{i+2}相同)$$所以此时$P(f(i)f(j))$也可以求。

• 如果$i=j$，显然$P(f(i)f(j))=P(f(i))$。

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这样看来是$O(n^2)$的，但是，对于每个$i$，所有的满足$i-j\ge 2$的$P(f(j))$可以用前缀和处理，然后根据分配率一起乘$P(f(i))$，$j-i\ge 2$也可以算，这样一来就变成$O(1)$啦。

代码

关于分数的处理，我写了分数结构体，分数的加减乘时分子和分母随时都可以取模，原因如下：

• 分子显然可以取模。
• 对于分母，最后是以逆元的形式输出，由于逆元是根据费马小定理求的，所以$m^{-1}\%p=m^{p-1}\%p$，又因为$m^{p-1}\%p=(m\%p{)}^{p-1}\%p$，所以$m^{-1}\%p=(m\%p{)}^{-1}\%p$，故分母取模对逆元无影响。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 200000
#define LL long long
#define MOD 1000000007
int N;
LL L[MAXN+5],R[MAXN+5];

LL Pow(LL x,LL y){
	LL ret=1ll;
	while(y){
		if(y&1)
			ret=(ret*x)%MOD;
		y>>=1;
		x=(x*x)%MOD;
	}
	return ret;
}
LL Inv(LL x){
	return Pow(x,MOD-2);
}

struct Fraction{
	LL A,B;
	Fraction(){A=0;B=1;}
	Fraction(int a,int b):
		A(a),B(b){}
	Fraction operator + (Fraction m){
		return Fraction((A*m.B%MOD+B*m.A%MOD)%MOD,B*m.B%MOD);
	}
	Fraction operator - (Fraction m){
		return Fraction(((A*m.B%MOD-B*m.A%MOD)%MOD+MOD)%MOD,B*m.B%MOD);
	}
	Fraction operator * (Fraction m){
		return Fraction(A*m.A%MOD,B*m.B%MOD);
	}
}F[MAXN+5],G[MAXN+5],Sum[MAXN+5];
//F[i]是f(i)的概率
//G[i]是f(i)和f(i+1)同时发生的概率
//Sum[i]=F[1]+...+F[i]

LL I(int L1,int R1,int L2,int R2){//求交集的大小
	return max(0,min(R1,R2)-max(L1,L2)+1);
}

int main(){
	scanf("%d",&N);
	for(int i=1;i<=N;i++)
		scanf("%lld",&L[i]);
	for(int i=1;i<=N;i++)
		scanf("%lld",&R[i]);
	for(int i=1;i<=N;i++){
		F[i]=Fraction(1,1)-
			 Fraction(I(L[i],R[i],L[i+1],R[i+1])%MOD,
					 (R[i]-L[i]+1)*(R[i+1]-L[i+1]+1)%MOD);
		Sum[i]=Sum[i-1]+F[i];
	}
	for(int i=1;i<=N-1;i++){
		LL All=(R[i]-L[i]+1)*(R[i+1]-L[i+1]+1)%MOD*(R[i+2]-L[i+2]+1)%MOD;
		G[i]=Fraction(1,1)-
			 Fraction(I(L[i],R[i],L[i+1],R[i+1])*(R[i+2]-L[i+2]+1)%MOD,All)-
			 Fraction(I(L[i+1],R[i+1],L[i+2],R[i+2])*(R[i]-L[i]+1)%MOD,All)+
			 Fraction(I(max(L[i],L[i+1]),min(R[i],R[i+1]),L[i+2],R[i+2]),All);
	}
	Fraction Ans(0,1);
	for(int i=1;i<=N;i++){
		if(i>1){
			Ans=Ans+F[i]*Sum[i-2];
			Ans=Ans+G[i-1];
		}
		if(i<N){
			Ans=Ans+F[i]*(Sum[N]-Sum[i+1]);
			Ans=Ans+G[i];
		}
		Ans=Ans+F[i];
	}
	//不需要约分
	printf("%lld",Ans.A*Inv(Ans.B)%MOD);
}