[CodeForces 1391E] Pairs of Pairs（结论） | 错题本

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#树形结构 #图论

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本文分析了CodeForces1391E题目“PairsofPairs”，提出了解决方案：当DFS树高度达到特定阈值时，输出路径；否则，采用配对策略。通过理论分析和代码实现，确保了选取点数的合法性。

文章目录

题目
分析
代码

题目

[CodeForces 1391E] Pairs of Pairs

分析

~~两个 NP 问题拼起来就变成了一道蓝题？~~
结论：

若 DFS 树高不小于 $\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil$ ，输出 PATH 以及根开始最长的链；
否则输出 PAIRING，对每层挨着两两匹配（可能会单一个出来不选）即可。

情况一显然合法（尽管所有直径不小于 $\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil$ 的 DFS 树都可以输出 PATH，但为了保证情况二合法，我们只对树高不小于 $\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil$ 的 DFS 树输出 PATH）。

情况二：

先说明这样选的点数至少是 $\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil$ ：
显然一层最多一个点不被选上，又因为树高小于 $\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil$ ，所以至少能选出 $\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil$ 个点。
然后说明选出的点合法：
首先要明确的是一个无向图的 DFS 树，深度相同的点在原图上不会有连边。

若深度相同的点在原图上有连边：假设这两个点为 $u, v$ ，不妨设 $u$ 的 DFN 小于 $v$ 的 DFN，那么在 $u$ 处往下 DFS 时必然会访问到邻接点 $v$ ，那么 $v$ 的深度大于 $u$ ，与假设矛盾。

然后考虑层间的选择：不妨设选了 $a, b, c, d$ 四个点，其中 $a, b$ 深度相同、 $c, d$ 深度相同，且 $a, b$ 深度小于 $c, d$ ，那么可能有边的只能是 $(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)$ ，画图可以发现，这四条边中最多有两条，否则 $a, b$ 不可能是同层节点（即在该导出子图里面 $a, b$ 不能联通）。

代码

#include <bits/stdc++.h>

const int MAXN = 500000;
const int MAXM = 1000000;

int N, M;
int Dep[MAXN + 5];
int Len[MAXN + 5], Son[MAXN + 5];
std::vector<int> G[MAXN + 5], D[MAXN + 5];

void Dfs(int u, int d) {
    Dep[u] = d;
    D[d].push_back(u);
    for (int i = 0; i < (int)G[u].size(); i++) {
        int v = G[u][i];
        if (!Dep[v]) {
            Dfs(v, d + 1);
            if (Len[v] > Len[u])
                Son[u] = v, Len[u] = Len[v];
        }
    }
    Len[u]++;
}

int main() {
    int T; scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d%d", &N, &M);
        for (int i = 1; i <= M; i++) {
            int u, v; scanf("%d%d", &u, &v);
            G[u].push_back(v), G[v].push_back(u);
        }
        Dfs(1, 1);
        std::vector<int> Ans;
        if (Len[1] >= (N + 1) / 2) {
            puts("PATH");
            for (int u = 1; u; u = Son[u])
                Ans.push_back(u);
            printf("%d\n", (int)Ans.size());
            for (int i = 0; i < (int)Ans.size(); i++)
                printf("%d ", Ans[i]);
            puts("");
        }
        else {
            puts("PAIRING");
            for (int i = 1; i <= Len[1]; i++)
                for (int j = 0; j + 1 < (int)D[i].size(); j += 2)
                    Ans.push_back(D[i][j]), Ans.push_back(D[i][j + 1]);
            printf("%d\n", (int)Ans.size() / 2);
            for (int i = 0; i < (int)Ans.size(); i += 2)
                printf("%d %d\n", Ans[i], Ans[i + 1]);
        }
        for (int i = 1; i <= N; i++)
            Dep[i] = Len[i] = Son[i] = 0, G[i].clear(), D[i].clear();
    }
    return 0;
}