BZOJ 1022: [SHOI2008]小约翰的游戏John【Anti-SG游戏与SJ定理】

原创于 2019-03-18 12:09:24 发布 · 244 阅读

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博客主要对Anti - SG游戏（决策集合为空者胜）进行分析。探讨了游戏的三种情况，包括每堆只有一个石子、只有一堆石子数>1、存在至少两堆石子>1时的胜负判断。还根据nim游戏原理分析了不同状态的胜负关系，最后拓展介绍了SJ定理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目分析：

Anti-SG游戏（决策集合为空者胜）
针对这道题口胡一通。
游戏分三种情况：（下面的异或和指的是所有堆的SG值的异或和）

每堆只有一个石子，此时
- 若异或和为0（偶数堆），则先手必胜（A）
- 若异或和为1（奇数堆），则先手必败（B）
只有一堆石子数>1，（C）
- 若有奇数堆石子数为1的，那么先手把当前堆取完即可，先手必胜
- 若有偶数堆石子数为1的，那么先手把当前堆取成只剩一个石子，仍然是先手必胜
- 注意，这时所有堆的SG值异或和一定不为0
存在至少两堆石子>1
- 异或和为0 （D）
- 异或和不为0 （E）

根据nim游戏的原理，我们分析一下D、E状态的胜负：
首先，C状态是必胜状态，D、E状态最终都会归结到C状态。
E状态一定可以转移到D状态（因为只有一堆>1时异或和一定不为0，所以转移后仍然有至少两堆>1）;
而D状态要么转移到E状态，要么转移到C状态。
所以E是必胜状态，D是必败状态。

~~应该解释明白了吧。。~~

拓展一下，就是SJ定理：

对于任意一个Anti-SG游戏，如果我们规定当局面中所有的单一游戏的SG值为0时，游戏结束，则先手必胜当且仅当：

游戏中没有单一游戏的SG函数大于1 且游戏的SG函数为0。
游戏中存在某个单一游戏的SG函数大于1 且游戏的SG函数不为0。

这道题的Code：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#define maxn 5
inline void read(int &a){
    char c;while(!isdigit(c=getchar()));
    for(a=c-'0';isdigit(c=getchar());a=a*10+c-'0');
}
int n,x,T;
int main()
{
    read(T);
    while(T--){
        read(n);int ans=0,y=0;
        while(n--) read(x),ans^=x,y|=(x>1);
        puts((!y&&!ans)||(y&&ans)?"John":"Brother");
    }
}