Matlab：奇异值原理及应用

Matlab：奇异值原理及应用

奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是线性代数的一个基础定理。它可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，即A=UΣV’，其中U、V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。奇异值就是Σ中的对角元素，由大到小排布。

奇异值在数据降维、信号处理、图像压缩等领域都有广泛应用。下面以图像压缩为例，演示如何使用Matlab进行奇异值分解。

首先读入一张图像：

Img = imread('lena.png');

将图像转化为灰度图，并转化为double类型：

ImgGray = im2double(rgb2gray(Img));

对图像进行奇异值分解，并只保留前k个奇异值：

[U,S,V] = svd(ImgGray);
k = 100; % 保留前100个奇异值
U_k = U(:,1:k);
S_k = S(1:k,1:k);
V_k = V(:,1:k);

根据U_k、S_k、V_k重构图像：

ImgRecon = U_k*S_k*V_k';

对比重构图像和原图像：

figur