Rodrigues' Rotation Matrix(罗德里格旋转矩阵)

最新推荐文章于 2025-01-09 12:56:23 发布
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分类专栏： PBRT Game Development Misc 文章标签： matrix
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/BugRunner/article/details/7359100
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本文探讨了在使用蒙特卡洛方法进行半球面采样时，如何根据法向量变换采样向量方向的问题。通过介绍罗德里格旋转矩阵（Rodrigues' Rotation Matrix），展示了如何计算旋转矩阵R，使得R V0 = V1。该方法虽然不是速度最快，但对于理解和解决向量旋转问题提供了新的视角。

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使用蒙特卡洛方法做半球面采样时遇到有这样的一个问题：默认产生的采样向量组所在的半球面是Y轴（或其它轴）所对应的方向，但是在使用时可能就需要根据法向量对其进行变换，于是就有了这样一个问题，给定两个向量V0和V1 计算出一旋转矩阵R得到：

R V0 =V1

这个问题其实蛮简单，可以直接用两个向量的点积与叉乘计算出对应的夹角与旋转轴，然后组合出旋转矩阵即可（http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix)。不过搜了下发现了另外一种方法：Rodrigues Rotation matrix（罗德里格旋转矩阵），虽然这种方法可能并没有速度上的优势，但之前却没什么了解（没准儿也学过，但干脆地忘了^_^）。其关于R的计算如下：

最低0.47元/天 解锁文章
matlab 罗德里格 公式,旋转矩阵，四元素，欧拉角
weixin_32394375的博客
04-05 1507
旋转变换旋转变换最为直观的表示方法是“轴-角”：绕着某一个过原点轴，旋转某一角度。轴可以用一个单位长度的点[w1,w2,w3][w1,w2,w3]表示：原点到该点的射线即为此轴。使用右手座标系，拇指指向轴方向，四指方向即为旋转的方向。一个旋转变换可以用用欧拉角、四元数或者旋转矩阵表示。以下讨论不同表示方法之间的关系，以及旋转变换的合成、取逆等操作。旋转矩阵旋转可以看做一种特殊的座标变换，而座标变换...
【机器人学】机器人旋转的数学魔法：Rodrigues公式全解析！
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BIYing_Aurora的博客
04-03 556
🚀 【3分钟速懂Rodrigues公式】 想让机器人优雅旋转？告别欧拉角的"万向锁"噩梦！🔥 Rodrigues公式用「轴+角度」直接计算旋转： 1️⃣ 核心魔法：向量旋转后 = 原位置·cosθ + 轴分量补偿 + 叉积扭转（几何直觉拉满！） 2️⃣ 两大形态：向量版（物理意义清晰）🆚 矩阵版（编程实现高效） 3️⃣ 实战优势：机械臂关节旋转、无人机姿态控制通吃，还能做丝滑插值（SLERP）！ 💡 一句话总结：比欧拉角稳定，比四元数直观，机器人学里的旋转「万金油」！
罗德里格斯公式(旋转矩阵)推导
bdn_nbd的博客
05-25 3474
罗德里格斯公式推导
罗德里格斯（Rodrigues）旋转向量转旋转矩阵
Du_Shuang的博客
11-06 7143
转载于：https://blog.youkuaiyun.com/qq_22235957/article/details/80461290 旋转向量中V的单位向量代表方向，模代表角度，通过罗德里格斯方程可以将旋转向量转换成旋转矩阵。 罗德里格斯旋转方程是从角度和向量计算出相应的旋转矩阵，这个旋转方程在很多方面有重要的应用，这里简要概述一下方程的推导过程。 主要参考资料是维基百科，其实基本上就是翻译一下，自己走一遍这个推导过程，这里把链接贴出来。 维基百科-罗德里格斯方程 推导过程
计算机图形学——Rodrigues‘ Rotation Formula 罗德里格斯旋转公式及其矩阵形式的推导
llxllx6969的博客
12-07 2050
罗德里格旋转公式是计算三维空间中，一个向量绕旋转轴旋转给定角度以后得到的新向量的计算公式。这个公式使用原向量，旋转轴及它们叉积作为标架表示出旋转以后的向量。可以改写为矩阵形式，被广泛应用于空间解析几何和计算机图形学领域，成为刚体运动的基本计算公式。
1）使用 Rodrigues‘ 旋转公式2）四元数计算旋转矩阵
qq_45762996的博客
07-28 521
虽然两种方法计算旋转矩阵的数学表达式不同，但它们在功能上是等价的，因为它们都是基于相同的数学原理，且最终结果相同。通过这种方式，我们可以更精确地验证两个旋转矩阵是否在数值上相等，考虑到浮点数比较中的微小误差。将单位化后的旋转轴向量的各个分量（x, y, z）分别提取出来，便于后续计算。将旋转轴向量单位化，以确保旋转轴的长度为1。计算旋转矩阵时常用到的中间变量，用于减少重复计算，提高代码的可读性和性能。这可能是由于浮点数比较中的微小误差引起的。将旋转轴向量单位化，以确保旋转轴的长度为1。
罗德里格斯旋转矩阵推导_rodrigues_旋转矩阵_
10-04
从旋转矢量到旋转矩阵的转换称为罗德里格斯公式，基于几何考虑推导如下
罗德里格旋转公式 (Rodrigues’ Rotation Formula)
重来的博客
12-17 1467
关于三维空间中的旋转，我们以前提到过基于欧拉角的旋转表达矩阵，它们分别描述了围绕 x 轴、y 轴、z 轴旋转后坐标应当如何变化。事实上，我们可以更进一步，推导出一个通用的、围绕过原点的任意轴旋转的公式。
Python 罗德里格矩阵的空间坐标转换——两组公共点求所属坐标系的旋转矩阵与平移矩阵
windSnowLi
12-21 1303
【代码】Python 罗德里格矩阵的空间坐标转换——两组公共点求所属坐标系的旋转矩阵与平移矩阵。
旋转矩阵罗德里格斯公式（Rodriguez formula）的理解证明
weixin_41855010的博客
08-24 5389
罗德里格斯公式（Rodriguez formula）是计算机视觉中的一大经典公式，在描述相机位姿的过程中很常用，其形式如下： 我们假设v⃗\vec{v}v向量绕n⃗\vec{n}n轴转了θ\thetaθ角度，得到了v⃗′\vec{v}'v′向量，R\bf{R}R为旋转矩阵，我们由旋转矩阵的概念可以知道，他们的关系如下：v⃗′=Rv⃗\vec{v}'=\textbf{R} \vec{v}v′=Rv 也就是说旋转前的向量坐标乘以旋转矩阵，等于旋转后的向量坐标，以下是这个公式的推导过程（该推导及下图来自于you
罗德里格斯（Rodrigues）旋转公式及其推导
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qq_36162042的博客
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罗德里格斯旋转公式及其推导罗德里格斯（Rodrigues）旋转公式及其推导三维空间旋转矩阵罗德里格斯旋转方程（Rodrigues）*叉积矩阵**拉格朗日公式（向量三重积展开）**罗德里格斯旋转方程推导* 罗德里格斯（Rodrigues）旋转公式及其推导 三维空间旋转矩阵 计算机图形学中，三维空间下绕不同坐标轴的旋转矩阵如下（右手系逆时针）： 绕X轴旋转： Rx=[ 100 0cosθ−sin⁡θ 0sinθcos⁡θ](1) R_x = \left[ \begin{mat
罗德里格斯（Rodrigues）旋转公式推导
wangchenxue的博客
05-10 8140
原文链接 1 罗德里格斯（Rodrigues）旋转公式简介 对于三维空间向量vvv的旋转问题，给定罗德里格斯旋转向量qqq（由旋转轴nnn和旋转角度θ\thetaθ构成），那么，用罗德里格斯（Rodrigues）旋转公式就可以得出旋转后的向量v′v^{'}v′，如下：v′=v+(1−cosθ)∗N2⋅v+sinθ∗N⋅vv^{'}=v+(1-cos\theta)*N^{2} \cdot v+sin\theta*N\cdot vv′=v+(1−cosθ)∗N2⋅v+sinθ∗N⋅v （1）或v′=cosθ
Rodrigues：旋转矩阵的向量表达
weixin_43851636的博客
07-27 1033
Rodrigues公式的详细推导，向量的叉乘意义。
如何用矩阵形式表示罗德里格斯公式？
该剃胡子了的博客
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在学习计算机图形学中，遇到三维空间物体绕任意旋转轴如何表示的问题，我们知道罗德里格斯方程可以为我们解决这个问题，但实际过程如何推导还有很多问题，在此总结一些笔记，并对其中容易疑问的地方做出一些讲解，帮助大家理解。
旋转矩阵和旋转向量
Pslwq的专栏
05-10 4838
旋转矩阵和旋转向量的转化
罗德里格旋转公式推导
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罗德里格旋转公式
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大马路上的学霸
04-07 3853
在使用OpenCV3 stereoRectify()函数处理三维旋转问题时，需要使用旋转向量。通常对于相机的位姿旋转都是采用旋转矩阵的方式来描述的，一个向量乘以旋转矩阵等价于向量以某种方式进行旋转。除了采用旋转矩阵描述外，还可以用旋转向量来描述旋转，旋转向量的长度（模）表示绕轴逆时针旋转的角度（弧度）。旋转向量与旋转矩阵可以通过罗德里格斯（Rodrigues）变换进行转换。 算...
OpenCV相机标定与3D重建(50)在旋转向量（rotation vector）和旋转矩阵（rotation matrix）之间进行转换函数Rodrigues()的使用
jndingxin的专栏
01-09 381
cv::Rodrigues 是 OpenCV 库中的一个函数，用于在旋转向量（rotation vector）和旋转矩阵（rotation matrix）之间进行转换。这个函数可以将一个3x1 或 1x3 的旋转向量转换为 3x3 的旋转矩阵，也可以反过来，将 3x3 的旋转矩阵转换为旋转向量。
给定一个点,一个旋转轴，一个初始向量,求初始向量绕旋转轴旋转X度的结果
12-14
给定一个点、一个旋转轴和一个初始向量，求初始向量绕旋转轴旋转X度的结果，可以使用旋转矩阵来实现。具体步骤如下： 1. **定义旋转轴和旋转角度**： - 设旋转轴为向量 \( \mathbf{u} = (u_x, u_y, u_z) \)。 - 设旋转角度为 \( \theta \) 度。 2. **构造旋转矩阵**： - 首先将旋转轴向量 \( \mathbf{u} \) 归一化，得到单位向量 \( \mathbf{u} = \frac{(u_x, u_y, u_z)}{\sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}} \)。 - 使用罗德里格旋转公式（Rodrigues' rotation formula）构造旋转矩阵 \( R \)： \[ R = I \cos \theta + (\mathbf{u} \otimes \mathbf{u})(1 - \cos \theta) + [\mathbf{u}]_\times \sin \theta \] 其中，\( I \) 是3x3单位矩阵，\( \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} \) 是外积矩阵，\( [\mathbf{u}]_\times \) 是向量 \( \mathbf{u} \) 的叉积矩阵。 3. **应用旋转矩阵**： - 将初始向量 \( \mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z) \) 乘以旋转矩阵 \( R \)： \[ \mathbf{v}' = R \mathbf{v} \] - 结果向量 \( \mathbf{v}' \) 即为初始向量绕旋转轴旋转X度的结果。 ### 示例代码 ```python import numpy as np def rotation_matrix(axis, theta): axis = np.asarray(axis) axis = axis / np.linalg.norm(axis) a = np.cos(theta / 2.0) b, c, d = -axis * np.sin(theta / 2.0) aa, bb, cc, dd = a*a, b*b, c*c, d*d bc, ad, ac, ab, bd, cd = b*c, a*d, a*c, a*b, b*d, c*d return np.array([[aa + bb - cc - dd, 2*(bc + ad), 2*(bd - ac)], [2*(bc - ad), aa + cc - bb - dd, 2*(cd + ab)], [2*(bd + ac), 2*(cd - ab), aa + dd - bb - cc]]) def rotate_vector(axis, theta, v): R = rotation_matrix(axis, theta) return np.dot(R, v) # 示例 axis = [0, 0, 1] # 旋转轴 theta = np.radians(90) # 旋转角度为90度 v = [1, 0, 0] # 初始向量 v_rotated = rotate_vector(axis, theta, v) print(v_rotated) # 输出结果为 [0, 1, 0] ```
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