SCAU18124--N皇后问题

18124 N皇后问题

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题型: 编程题   语言: G++;GCC;VC

Description

有N*N的国际象棋棋盘，要求在上面放N个皇后，要求任意两个皇后不会互杀，有多少种不同的放法？

 

输入格式

每一个数为T，代表CASE的数量，T<=13
此后，每行一个数N（13>=N>0）

 

输出格式

每一个CASE，输出对应答案

 

输入样例

2
4
5

 

输出样例

2
10

回溯算法

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int totalSolutions = 0;

void solveNQueens(int row, int n, vector<int>& col, vector<int>& diag1, vector<int>& diag2) {
    if (row == n) {
        totalSolutions++;
        return;
    }
    for (int c = 0; c < n; ++c) {
        if (!col[c] && !diag1[row + c] && !diag2[row - c + n - 1]) {
            col[c] = diag1[row + c] = diag2[row - c + n - 1] = 1;
            solveNQueens(row + 1, n, col, diag1, diag2);
            col[c] = diag1[row + c] = diag2[row - c + n - 1] = 0;
        }
    }
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        int n;
        cin >> n;
        totalSolutions = 0;
        vector<int> col(n, 0);//列
        vector<int> diag1(2 * n - 1, 0);//从左上到右下的对角线
        vector<int> diag2(2 * n - 1, 0);//从右上到左下的对角线
        solveNQueens(0, n, col, diag1, diag2);
        cout << totalSolutions << endl;
    }
    return 0;
}

在回溯算法中，我们使用两个数组 diag1 和 diag2 来标记对角线的占用情况：

1. diag1[row + col]：

   • 表示副对角线（因为 row + col 是副对角线的唯一标识）。

   • 大小为 2n - 1（因为 row + col 的取值范围是 [0, 2n-2]）。

2. diag2[row - col + n - 1]：

   • 表示主对角线（通过 row - col + n - 1 将负值映射到正索引）。

   • 大小为 2n - 1（因为 row - col 的取值范围是 [-(n-1), n-1]）。

示例（N=4）

• 主对角线 row - col 的可能值：-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3。

  • 通过 row - col + 3 映射为索引：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6。

• 副对角线 row + col 的可能值：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6（直接作为索引）。