一文搞懂交叉熵损失

本文从信息熵和最大似然估计来推导交叉熵作为分类损失的依据。

从熵来看交叉熵损失

信息量

信息量来衡量一个事件的不确定性，一个事件发生的概率越大，不确定性越小，则其携带的信息量就越小。

设$X$是一个离散型随机变量，其取值为集合$X=x_0,x_1,\dots ,x_n$ ，则其概率分布函数为$p(x)=Pr(X=x),x\in X$，则定义事件$X=x_0$ 的信息量为：
$$I(x_0)=-\log (p(x_0))$$
当$p(x_0)=1$时，该事件必定发生，其信息量为0.

熵

熵用来衡量一个系统的混乱程度，代表系统中信息量的总和；熵值越大，表明这个系统的不确定性就越大。

信息量是衡量某个事件的不确定性，而熵是衡量一个系统（所有事件）的不确定性。

熵的计算公式
$$H(x)=-\sum _{i=1}^{n}p(x_i)\log (p(x_i))$$
其中，$p(x_i)$为事件$X=x_i$的概率，$-log(p(x_i))$为事件$X=x_i$的信息量。

可以看出，熵是信息量的期望值，是一个随机变量（一个系统，事件所有可能性）不确定性的度量。熵值越大，随机变量的取值就越难确定，系统也就越不稳定；熵值越小，随机变量的取值也就越容易确定，系统越稳定。

相对熵 Relative entropy

相对熵也称为KL散度(Kullback-Leibler divergence)，表示同一个随机变量的两个不同分布间的距离。

设 $p(x),q(x)$ 分别是 离散随机变量$X$的两个概率分布，则$p$对$q$的相对熵是：
$$D_{KL}(p\parallel q)=\sum _{i}p(x_i)log(\frac{p(x_i)}{q(x_i)})$$

相对熵具有以下性质：

• 如果$p(x)$和$q(x)$的分布相同，则其相对熵等于0
• $D_{KL}(p\parallel q)\ne D_{KL}(q\parallel p)$，也就是相对熵不具有对称性。
• $D_{KL}(p\parallel q)\ge 0$

总的来说，相对熵是用来衡量同一个随机变量的两个不同分布之间的距离。在实际应用中，假如$p(x)$是目标真实的分布，而$q(x)$是预测得来的分布，为了让这两个分布尽可能的相同的，就需要最小化KL散度。

交叉熵 Cross Entropy

设 $p(x),q(x)$ 分别是 离散随机变量$X$的两个概率分布，其中$p(x)$是目标分布，$p$和$q$的交叉熵可以看做是，使用分布$q(x)$ 表示目标分布$p(x)$的困难程度：
$$H(p,q)=\sum _{i}p(x_i)log\frac{1}{\log q(x_i)}=-\sum _{i}p(x_i)\log q(x_i)$$
将熵、相对熵以及交叉熵的公式放到一起，
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ H(p) &= -\sum_…
通过上面三个公式就可以得到
$$D_{KL}(p,q)=H(p,q)-H(p)$$
在机器学习中，目标的分布$p(x)$ 通常是训练数据的分布是固定，即是H(p)H(p)