小Q的歌单

最新推荐文章于 2019-09-01 17:31:27 发布

V_Lute

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分类专栏：算法的友尽之旅文章标签：动态规划 01背包方法数 Java

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Broken_Wave/article/details/82289765

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本文介绍了一种关于如何从不同长度的歌曲中组合成特定时长歌单的问题，并提供了两种算法解决方案，一种是基于数学组合的方法，另一种是使用01背包问题的动态规划方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：
小Q有X首长度为A的不同的歌和Y首长度为B的不同的歌，现在小Q想用这些歌组成一个总长度正好为K的歌单，每首歌最多只能在歌单中出现一次，在不考虑歌单内歌曲的先后顺序的情况下，请问有多少种组成歌单的方法。

输入描述:

每个输入包含一个测试用例。
每个测试用例的第一行包含一个整数，表示歌单的总长度K(1<=K<=1000)。
接下来的一行包含四个正整数，分别表示歌的第一种长度A(A<=10)和数量X(X<=100)以及歌的第二种长度B(B<=10)和数量Y(Y<=100)。保证A不等于B。

输出描述:

输出一个整数,表示组成歌单的方法取模。因为答案可能会很大,输出对1000000007取模的结果。

输入

5
2 3 3 3

输出

方法一：

利用数学归纳法中求组合的公式C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1）先求出组合矩阵，再直接遍历所有组合

import java.util.Scanner;

public class Main {
	static long[][] c = new long[101][101];
	static long mod = 1000000007;

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int k = sc.nextInt();
		int a = sc.nextInt();
		int x = sc.nextInt();
		int b = sc.nextInt();
		int y = sc.nextInt();
		init();
		int num = k / a;

		long sum = 0;
		for (int i = 0; i <= num; i++) {
			for (int j = 1; j <= y; j++) {
				if ((i * a + j * b) > k)
					break;
				if((i*a+j*b)==k){ 
					sum+=c[x][i]*c[y][j];
				}
			}
		}
		System.out.println(sum);

	}

	/**
	 * 利用C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1）初始化组合矩阵
	 */
	static void init() {
		c[0][0] = 1;
		for (int i = 1; i <= 100; i++) {
			c[i][0] = 1;
			for (int j = 1; j <= 100; j++) {
				c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % mod;
			}
		}
	}
}

方法二：

为01背包求方案数问题。转移公式：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-p[i]],p[i]表示第i首歌的长度，A B长度按顺序存储在P中。其中dp[i][j]表示前i首歌组合长度j时的方法数，等于前i-1首歌组合长度j时的方法数+前i-1首歌组合长度j-p[i]时的方法数，即加入第i首和不加第i首的方法数之和。

import java.util.Scanner;

public class Main {

	static long mod = 1000000007;
	static long[][] dp = new long[201][1001];
	static int[] p = new int[201];

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int k = sc.nextInt();
		int a = sc.nextInt();
		int x = sc.nextInt();
		int b = sc.nextInt();
		int y = sc.nextInt();

		dp[0][0] = 1;

		for (int i = 1; i <= x; i++)

			p[i] = a;

		for (int j = x + 1; j <= x + y; j++)

			p[j] = b;

		for (int i = 1; i <= x + y; i++)

			for (int j = 0; j <= k; j++) {
				if (j >= p[i])
					dp[i][j] = (dp[i - 1][j] % mod + dp[i - 1][j - p[i]] % mod) % mod;
				else
					dp[i][j] = dp[i - 1][j] % mod;

			}
		System.out.println(dp[x + y][k]);
	}

}