【BZOJ3260】跳【组合数】

最新推荐文章于 2019-07-04 12:20:00 发布

BraketBN

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分类专栏：组合数学文章标签：组合数

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本文介绍了一种在特定约束条件下高效计算组合数的方法，并通过代码示例展示了如何利用阶乘和逆元进行优化，实现O(m+log(p))的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

设m < n，答案为n + C(n + m + 1, m)

所以求出组合数就好了...

发现n * m最大为10^12，那么m最大为10^6。

将组合数用阶乘形式展开，为 (n + m + 1)! / n! / (m + 1)!。

将前两项约掉，得到

(n + 1) * (n + 2) * ... * (n + m + 1) / (m + 1)!

分子有m项，分母有m项，所以可以O(m)求出来。

因为有inv(x!, p) = inv(x! % p, p)，所以求出分母模p的值之后再求逆元，那么只需要求一次逆元。

总复杂度为O(m + log(p))。

写出来之后发现跑了rank1...

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef unsigned long long ULL;
typedef long long LL;

const ULL p = 1000000007;

void exgcd(ULL a, ULL b, LL &x, LL &y) {
	b ? (exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x) : (x = 1, y = 0);
}

ULL inv(ULL a) {
	LL x, y;
	exgcd(a, p, x, y);
	if(x < 0) x += p;
	return x % p;
}

int main() {
	ULL n, m; scanf("%llu%llu", &n, &m);
	if(m > n) swap(n, m); n += m + 1; n %= p;

	ULL a = 1, b = 1;
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		a = (n - i + 1) * a % p;
		b = i * b % p;
	}
	
	ULL ans = (a * inv(b) % p + n - m - 1) % p;
	printf("%llu\n", ans);

	return 0;
}