【NOIP2015】Day2T3 运输计划

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树

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本文介绍了一种高效的算法，用于解决在给定的星球网络中通过改造一条航道为虫洞以最小化多个运输任务总时间的问题。该算法利用了二分查找和树上倍增技巧，有效地确定了最佳虫洞位置。

运输计划

Description

公元 2044 年，人类进入了宇宙纪元。
L 国有 n 个星球，还有 n−1 条双向航道，每条航道建立在两个星球之间，这 n−1 条航道连通了 L 国的所有星球。
小 P 掌管一家物流公司，该公司有很多个运输计划，每个运输计划形如：有一艘物流飞船需要从 ui 号星球沿最快的宇航路径飞行到 vi 号星球去。显然，飞船驶过一条航道是需要时间的，对于航道 j，任意飞船驶过它所花费的时间为 tj，并且任意两艘飞船之间不会产生任何干扰。
为了鼓励科技创新， L 国国王同意小 P 的物流公司参与 L 国的航道建设，即允许小P 把某一条航道改造成虫洞，飞船驶过虫洞不消耗时间。
在虫洞的建设完成前小 P 的物流公司就预接了 m 个运输计划。在虫洞建设完成后，这 m 个运输计划会同时开始，所有飞船一起出发。当这 m 个运输计划都完成时，小 P 的物流公司的阶段性工作就完成了。
如果小 P 可以自由选择将哪一条航道改造成虫洞，试求出小 P 的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间是多少？

Input Format

第一行包括两个正整数 n,m，表示 L 国中星球的数量及小 P 公司预接的运输计划的数量，星球从 1 到 n 编号。
接下来 n−1 行描述航道的建设情况，其中第 i 行包含三个整数 ai,bi 和 ti，表示第 i 条双向航道修建在 ai 与 bi 两个星球之间，任意飞船驶过它所花费的时间为 ti。数据保证 1≤ai,bi≤n 且 0≤ti≤1000。
接下来 m 行描述运输计划的情况，其中第 j 行包含两个正整数 uj 和 vj，表示第 j 个运输计划是从 uj 号星球飞往 vj号星球。数据保证 1≤ui,vi≤n。

Output Format

输出文件只包含一个整数，表示小 P 的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间。

Sample Input

6 3
1 2 3
1 6 4
3 1 7
4 3 6
3 5 5
3 6
2 5
4 5

Sample Output

Hint

将第 1 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：11,12,11，故需要花费的时间为 12。
将第 2 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：7,15,11，故需要花费的时间为 15。
将第 3 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：4,8,11，故需要花费的时间为 11。
将第 4 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：11,15,5，故需要花费的时间为 15。
将第 5 条航道改造成虫洞：则三个计划耗时分别为：11,10,6，故需要花费的时间为 11。
故将第 3 条或第 5 条航道改造成虫洞均可使得完成阶段性工作的耗时最短，需要花费的时间为 11。

分析

一道图论题，题意清晰。部分分可根据特殊情况或者较小数据进行特殊处理或大暴力术，在此不过多赘述。
正解：

首先，若是枚举哪条航线变成虫洞，显然会超时。但是我们发现答案具有单调性（易证），我们可以二分一个答案来判断这个答案是否可行。
其次，对于一个二分出的答案Lim，我们找出所有大于它的路径。则应该从这些航线中选一条变成虫洞。那么选哪条呢？显然是被使用过次数最多的那一条。
然后我们发现在寻找被使用过次数最多的航线时，如果我们直接一条一条标记哪些航线，也会导致超时，我们需要一个快速一点的方法。大家应该都有做过一维差分、二维差分，所以这一题我们可以搞一个树上倍增：如果从u走到v，我们可以把Tag[u]++，Tag[v]++，Tag[lca]-=2。把所有的标记打完之后，遍历一遍树即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define Max 300001
using namespace std;
int a,b,c,n,m,Ans,tot,S[Max],st[Max],last[Max],Father[Max][20],DistRoot[Max],DistFather[Max],Deep[Max],Tag[Max],s[Max],t[Max];
struct Data{int to,next,val;}E[2*Max];
void Addline(int u,int v,int w){
    E[++tot].to=v; E[tot].next=last[u]; E[tot].val=w; last[u]=tot;
    E[++tot].to=u; E[tot].next=last[v]; E[tot].val=w; last[v]=tot;
}
void Dfs(int fa,int u){
    Deep[u]=Deep[fa]+1;
    for (int i=1;i<=19;i++) Father[u][i]=Father[Father[u][i-1]][i-1];
    for (int i=last[u];i;i=E[i].next){
        if (fa==E[i].to) continue;
        Father[E[i].to][0]=u; DistRoot[E[i].to]=DistRoot[u]+E[i].val; DistFather[E[i].to]=E[i].val;
        Dfs(u,E[i].to);
    }
}
int GetTag(int fa,int u,int m){
    int Maxl=0;
    for (int i=last[u];i;i=E[i].next){
        if (fa==E[i].to) continue;
        Maxl=max(Maxl,GetTag(u,E[i].to,m));
        Tag[u]+=Tag[E[i].to];
    }
    if (Tag[u]==m) Maxl=max(Maxl,DistFather[u]);
    return Maxl;
}
int Lca(int u,int v){
    if (Deep[v]>Deep[u]) swap(u,v);
    for (int i;Deep[u]>Deep[v];u=Father[u][i-1])
        for (i=1;i<=16 && Deep[Father[u][i]]>=Deep[v];i++);
    for (int i;u!=v;u=Father[u][i-1],v=Father[v][i-1])
        for (i=1;i<=16 && Father[u][i]!=Father[v][i];i++);
    return u;
}
bool Check(int Lim){
    memset(Tag,0,sizeof(Tag));
    int sum=0,Maxs=0,Maxl=0;
    for (int i=1;i<=m;i++)
        if (S[i]>Lim) Tag[s[i]]++,Tag[t[i]]++,Tag[st[i]]-=2,sum++,Maxs=max(Maxs,S[i]);
    if (sum==0) return 1;
    Maxl=GetTag(0,1,sum);
    if (Maxs-Maxl>Lim) return 0;
    else return 1;
}
int main(){
    freopen("transport_transport9.in","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<n;i++){
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        Addline(a,b,c);
    }
    Dfs(0,1);
    for (int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&s[i],&t[i]);
        st[i]=Lca(s[i],t[i]);
        S[i]=DistRoot[s[i]]+DistRoot[t[i]]-2*DistRoot[st[i]];
    }
    for (int L=0,R=1<<30,Mid=(L+R)>>1;L<=R;Mid=(L+R)>>1){
        if (Check(Mid)) Ans=Mid,R=Mid-1;
        else L=Mid+1;
    }
    printf("%d",Ans);
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}