【SCUT_SE】 2018级 1/2/中澳班 第二次上机测试 Problem B

2018级 1/2/中澳班 第二次上机测试

Problem B: Fibonacci Numbers

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• Descpription

A Fibonacci sequence is calculated by adding the pervious two members of the sequence, with the first two members being both 1.

$$f(1)=1,f(2)=1,f(n>2)=f(n-1)+f(n-2)$$

Your task is to take a number as input, and print that fibonacci number.

• Input Format

A singal number indicates $n$.

• Output Format

A singal line indicates $f(n)$.

• Simple Input

$100$

• Simple Output

$354224848179261915075$

• Hint

No generated fibonacci number in excess of 1000 digits will be in the test data, i.e. $f(20)=6765$ has 4 digits.

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• Analysis

题面很简单，就是求斐波那契数列的第n项，根据递推式，可以很轻松的写出来。

//递归版
int f(int x){
    if (x<3) return 1;
    else return f(x-1)+f(x-2);
}

//非递归版
f[1]=f[2]=1;
for (int i=3;i<=n;i++) f[i]=f[i-1]+f[i-2];

首先我们来比较一下这两个程序，应该都不难理解。（在我印象中，递归版老师是在课堂上讲过的，非递归版讲没讲我就不清楚了）相同点很显然，就是他们都能算出正确答案。不同点在于，二者时间复杂度不等。（所谓时间复杂度，直观理解就是一个算法的时间效率，以后应该会反复提及，在此不多赘述，有兴趣的同学请自行百度）

递归版时间复杂度分析：

求解f(n),必须先计算f(n-1)和f(n-2)，计算f(n-1)和f(n-2)，又必须先计算f(n-3)和f(n-4)……以此类推，直至必须先计算f(1)和f(0),然后逆推得到f(n-1)和f(n-2)的结果，从而得到f(n)要计算很多重复的值，在时间上造成了很大的浪费，算法的时间复杂度随着N的增大呈现指数增长，时间的复杂度为$O(2^n)$。

非递归版时间复杂度分析：

从n(>2)开始计算，用f(n-1)和f(n-2)两个数相加求出结果，这样就避免了大量的重复计算，它的效率比递归算法快得多，算法的时间复杂度与n成正比，即算法的时间复杂度为$O(n)$。

当然，以上并不是本题的重点，本题的难点在于所计算出的f(n)的值可以达到1000位。我们知道，int类型的范围在$-2^{31}$ ~ $2^{31}-1$，long long类型的范围在$-2^{63}$ ~ $2^{63}-1$，即使是double类型的范围也只有大概$1.7\ast 10^{308}$。诚然long double类型可以表示到$1.2\ast 10^{4932}$，但考过计概的大家都知道，浮点数存在精度问题，在本题显然无法适用。

所以在此引入一种新的定义，高精度计算。

就我个人理解，所谓高精度，就是把一个一般情况下难以用基本数据类型表达的数（下文统称为大数），用数组或者字符串等线性结构来表达。例如我们用一个数组a来表示一个数A，一般情况下，用a[1]来表示A的个位，a[2]来表示A的十位……特别地，我喜欢用a[0]来表示A的位数（因为可以少开一个变量）。至于为什么要用a[1]来表示个位这么反人类的表示方法呢？读者可在此略作思考，下文将会提及。那么A=1234509876就用a[]={10,6,7,8,9,0,5,4,3,2,1}来表示。字符串也是相同的道理。

那么对于其计算问题，因其算是我们自定义的一种类型，就无法直接使用 + - * / 来计算，就需要我们自己对其定义。

我们先以加法为例，回想一下小学初学加法的时候，对于两个三位数四位数加法计算，我们当时是如何处理的？竖式计算：从末尾起，逐位逐位相加，有进位的要注意进位。是不是非常简单！值得注意的是，当我们算到最高位时，若还有进位，那么仍需进位，这也就是为什么采用倒序储存的原因。

//c=a+b
c[0]=max(a[0],b[0]);
for (int i=1;i<=c[0];i++){
    c[i]+=a[i]+b[i];
    c[i+1]+=c[i]/10;
    c[i]%=10;
}
if (c[c[0]+1]==1) c[0]++;

输出也很简单，我们知道了这个数的数位，那么倒序输出即可。

//输出a
for (int i=a[0];i>=1;i--) cout<<a[i];

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对于本题，以上两种操作就足够了，至于其他算术操作，原理和加法一样，都是模拟竖式计算，读者可先自行思考如何实现，若有需求，笔者可以再写一章关于高精度计算的文章，亦欢迎大家询问。

最后，附上本题标程。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1007;
struct MyClass{
	int BigNumber[N],Len;
	void clear(){memset(BigNumber,0,sizeof BigNumber);}
}a,b,c;
MyClass operator + (MyClass &a,MyClass &b){
	MyClass c; c.clear(); c.Len=max(a.Len,b.Len);
	for (int i=0;i<c.Len;i++)
		c.BigNumber[i+1]+=(c.BigNumber[i]+=a.BigNumber[i]+b.BigNumber[i])/10,c.BigNumber[i]%=10;
	c.Len+=c.BigNumber[c.Len]!=0;
	return c;
}
void Write(MyClass ans){ for (int i=ans.Len-1;i>=0;i--) printf("%d",ans.BigNumber[i]); printf("\n"); }
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    a.Len=a.BigNumber[0]=1; b=a;
    for (int i=3;i<=n;i++){
        c=a+b;
        a=b;
        b=c;
    }
    Write(c);
}

以上。若有不足，不吝赐教。

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by Bobby