牛客小白月赛8——神秘钥匙

最新推荐文章于 2026-01-05 22:36:07 发布

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本文解析了牛客网算法入门题目“神秘钥匙”的解决方案，通过数学推导得出组合选择的公式，最终使用C语言实现高效计算。适用于对算法竞赛感兴趣的学习者。

牛客网算法入门神秘钥匙（牛客小白月赛8）

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/214/C
来源：牛客网

题目描述

clccle一行?个人来到了一个诡异的世界，她们需要去寻找逃出这个地方的方法——找到神秘的所罗门之匙
她们决定从中随机选出一些人去寻找钥匙，并在其中选出一个队长，clccle不想知道自己有多大几率被选中，她只想知道一共有多少种选择的方案（选出的人数要在1−?之间，不同的队长算不同的方案）。
方案数对1000000007取模

输入描述:
第一行，一个整数?。

输出描述:
一个整数，表示方案数。

示例1
输入：2
输出：4

说明
四种方案:(1),(2),(1,2)其中1是队长,(2,1),其中2是队长

备注:
1 ≤ ? ≤ 109

思路

根据题目意思，可以知道所求结果Result的表达公式：
result = C(1,n)*1+C(2,n)*2+…C(n-1,n)*n-1+C(n,n)n
对其进行下公式变换：
因为：
C(a,n) = C(n-a,n)
所以：
2result = （C(1,n)1+C(n-1,n)(n-1)）+（C(2,n)*2+C(n-2,n)n-2）+…+（C(n-1,n)(n-1)+C(1,n)*1）+（C(n,n)*n+C(n,n)*n） = C(1,n)*n+C(2,n)n+…C(n-1,n)n+2n
等式同时减2n:
2（result-n） = n（C(1,n)+C(2,n)+…C(n-1,n)）
因为：
2^n = C(0,n)+C(1,n)+C(2,n)+…C(n-1,n)+C(n,n)
所以：
2（result-n） = n（2^n-2）
result - n = n（2^(n-1)-1）
result = n2^(n-1)

所需知识点

2^n = C(0,n)+C(1,n)+C(2,n)+…C(n-1,n)+C(n,n)
(ab)%mod = (a%mod)(b%mod)

C代码

#include<stdio.h>
const int mod=1000000007;
typedef long long LL;

int main() {
	LL result,n,digit;
	scanf("%lld",&n);
	result=n;
	n-=1;
	digit=2;
	
	while(n) {
		if(n & 1)
			result=rsult*digit%mod;
		n>>=1;
		digit=digit*digit%mod;
	}

	printf("%lld\n",result);
}

参考：https://blog.youkuaiyun.com/C_13579/article/details/83242071