背包问题详解：0/1背包、完全背包与多重背包的动态规划求解-优快云博客

本文介绍了背包问题的定义及其不同类型，着重讨论了0/1背包问题、完全背包问题和多重背包问题，并阐述了动态规划在求解这些问题中的应用，以及基本的动态规划思想：状态定义、状态转移、初始化和计算顺序。

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什么是背包问题

背包问题是:一类组合优化的问题，它可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，在限定的总重量内，如何选择这些物品放入背包，以使得背包内物品的总价值最大。背包问题根据其特定的约束条件和规则，可以分为几种不同的类型，其中最著名的包括0/1背包问题、完全背包问题和多重背包问题。

1. 0/1背包问题

在0/1背包问题中，每种物品只有一件，可以选择放入或不放入背包，因此称为0/1背包问题。目标是在不超过背包最大重量限制的前提下，最大化背包内物品的总价值。

例题P1048 [NOIP2005 普及组] 采药 https://www.luogu.com.cn/problem/P1616

分析:解决问题的关键是找到动态转移方程dp[i][j] max(dp[i - 1][j - w[i]] + val[i], dp[i - 1][j])

#include <stdio.h>

int w[105], val[105];
int dp[105][1005];

int max(int a, int b) {
    return (a > b) ? a : b;
}

int main() {
    int t, m;
    scanf("%d%d", &t, &m); // 读入背包总容量和物品数量
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d%d", &w[i], &val[i]); // 读入每个物品的重量和价值
    }

    // 动态规划求解0/1背包问题
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = t; j >= 0; j--) {
            if (j >= w[i]) {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - w[i]] + val[i], dp[i - 1][j]);
            }
            else {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
    }

    printf("%d", dp[m][t]); // 输出最大价值
    return 0;
}

2. 完全背包问题

与0/1背包问题不同，完全背包问题允许每种物品有无限件可用。也就是说，只要背包的容量允许，你可以放入任意数量的某种物品。同样的目标是最大化背包内物品的总价值。

例题 P1616 疯狂的采药https://www.luogu.com.cn/problem/P1616

#include <stdio.h>

int w[105], val[105];
int dp[1005]; 

int max(int a, int b) {
    return (a > b) ? a : b;
}

int main() {
    int t, m;
    scanf("%d%d", &t, &m); // 读入背包总容量和物品数量
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d%d", &w[i], &val[i]); // 读入每个物品的重量和价值
    }

    // 动态规划求解完全背包问题
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = w[i]; j <= t; j++) {
            // 对于完全背包问题，当考虑加入物品i时，应该从w[i]开始遍历到t
            // 因为只有当背包容量至少为物品i的重量时，才有可能放入物品
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + val[i]);
        }
    }

    printf("%d", dp[t]); // 输出最大价值
    return 0;
}