bzoj1233 [Usaco2009Open]干草堆tower（单调队列优化DP）

最新推荐文章于 2019-08-27 12:02:44 发布

Bfk_

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分类专栏： DP # 单调队列优化DP 题解思维题 bzoj 文章标签： DP 单调队列DP bzoj 1D1D动态规划决策单调性

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Bfk_zr/article/details/79068351

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本文介绍了如何使用单调队列优化动态规划（DP）方法解决Usaco2009Open的干草堆tower问题。通过证明层数最高的是基底层最窄的，将问题转化为求解第一层的最窄宽度。代码实现中，从后往前计算，利用单调队列维护最小的宽度差，从而确定最优解。

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bzoj1233 [Usaco2009Open]干草堆tower

原题地址：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1233

题意：
奶牛们讨厌黑暗。为了调整牛棚顶的电灯的亮度，Bessie必须建一座干草堆使得她能够爬上去够到灯泡。一共有N大包的干草(从1到N编号)依靠传送带连续的传输进牛棚来。第i包干草有一个宽度W_i。所有的干草包的厚度和高度都为1. Bessie必须利用所有N包干草来建立起干草堆，并且按照他们进牛棚的顺序摆放。她可以相放多少包就放多少包来建立起tower的地基（当然是紧紧的放在一行中）。接下来他可以放置下一个草包放在之前一级的上方来建立新的一级。注意：每一级不能比下面的一级宽。她持续的这么放置，直到所有的草包都被安置完成。她必须按顺序堆放，按照草包进入牛棚的顺序。说得更清楚一些：一旦她将一个草包放在第二级，她不能将接下来的草包放在地基上。 Bessie的目标是建立起最高的草包堆。

数据范围
1<=N<=100000，1<=w_i<=10000

题解：
真是妙妙。

容易想到的是从后往前贪心，但是这是错的。
例如：

6
6 2 3 7 10 11

正解是4层：[6,2]， [3,7]，[10]，[11]。
但贪心是3层： [6]，[2,3,7]，[10,11]。
这是由于前面的层选得多，“替之后的分担了压力”。

这题有一个使其便于DP的结论：
层数最高的是基底层最窄的。
证明：

任意取出一个能使层数最高的方案，设有CA层，把其中从下往上每一层最大的块编号记为Ai；任取一个能使底边最短的方案，设有CB层，把其中从下往上每一层最大的块编号记为Bi。显然A1>=B1,ACB<=BCB，这说明至少存在一个k属于(1,CB)，满足Ak-1>=Bk-1且Ak<=Bk。也就是说，方案 A 第K 层完全被方案 B 第K 层包含。构造一个新方案，第K 层往上按方案 A，往下按方案 B，两边都不要的块放中间当第K 层。新方案的层数与 A 相同，而底边长度与 B 相同。证毕。
——zkw大佬

于是转化成dp第一层的最窄宽度，途中记录一下层数。
从n到1dp，令 $s$ 为 $w$ 的前缀和：