[BZOJ1233][Usaco2009Open]干草堆tower（单调队列优化）

传送门

题意搞skr人…，其实就是堆方块：
有n(n<=100000)个干草,每堆有个宽度，现在要且分成若干段，把每一段的干草按顺序堆起来形成一个多层的干草堆（所以下标越小的干草堆放在越下面）且宽度要逐层非严格递减（上面一层的宽度<=下面一层的宽度），求最多可以放多少层。

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好神啊这题。。

题意看起来不复杂，所以我们很容易想到一个贪心：
从上往下倒着考虑，假设我们已经知道上面一层的宽度为w，那么下面一层的最优的策略一定是的大于等于w的宽度和中最靠近w的。

想出贪心之后我们需要证明他的正确性，但是也可以证明贪心是错的：
在bzoj该题的Discuss下id为thy的大佬已经举出了一个例子证明贪心是错的：

ex:
16
6 1 1 1 6 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 6
贪心：
6
111116
111161116
最优：
6111
1161
1116
1116
为什么是错的呢？
因为第i层可以帮第i+1层分担一些宽度，使得i+2层压力更小

但是我们可以在证明贪心是错误的过程中模糊地猜到一个结论：
假如该问题的一个解是最优解，那么它的最底层宽度一定最小。

这个结论有没有用我们现在还不知道，但是zory左老师有言：

每一个题目肯定有每一个题目的特质，肯定要抓住这个特质来解题。

为啥，因为最底层最小可以让干草堆叠的尽量的高嘛…

然后我们往dp去想，设列一个初级dp方程：
设$f[i][j]$表示用前i包干草，且当前层用的是第j包到第i包所能达到的最大高度。
则 f [ i ] [ j ] = m a x { f [ j − 1 ] [ k ] } + 1 ( s u m [ i ] − s u m [ j − 1 ] ≤ s u m [ j − 1 ] − s u m [ k − 1 ] , k &lt; j ≤ i ) f[i][j]=max\lbrace f[j-1][k]\rbrace+1(sum[i]-sum[j-1] \leq sum[j-1]-sum[k-1],k&lt;j\leq i) f[i][j]=max{ f[j−1][k]}+1(sum[i]−sum[j−1]≤sum[j−1]−sum[k−1],k<j≤i)
我们发现这个方程的时间复杂度为 O ( N 3 ) O(N^3)