408数据结构—数组和特殊矩阵

一、数组

• 定义
  数组是由n个相同类型的数据元素构成的有限序列，每一个数据元素称为一个数组元素。下标的取值范围被称为数组的维界

数组与线性表的关系： 数组是线性表的推广。一维数组可视为一个线性表；二维数组可视为其元素是定长数组的线性表，以此类推。数组一旦被定义，其维数和维界就不再改变。因此，除结构的初始化和销毁外，数组只会有存取元素和修改元素的操作。

二、数组的顺序存储

由于数组本身的特点，一般采用顺序结构来表示数组
由于数组可以是多维的而存储数据元素的内存单元地址是一维的，因此在存储数组结构之前，需要将多维关系映射到一维关系

1.一维数组

A[0…n-1]为例，存储结构关系式为
LOC(ai)=LOC(a0)+i×L (0≤i＜n)
i表示数组下标，L表示每个数组元素所占的存储单元(比如多少字节)

2.二维数组

行优先（这里的h1+1是一行有多少个数组元素，即多少列）

列优先（这里的h1+1是一列有多少个数组元素，即多少行）

三、特殊矩阵的压缩存储

1.对称矩阵

其中的元素可以分成三部分，上三角区，主对角线和下三角区
因为有一半元素是一样的，我们可以只存一半来节省空间

比如，只保存下三角部分（含主对角线）的元素
这时，第一行有1个元素，第二行有2个元素…第n行有n个元素
共n(n+1)/2个元素，放在内存数组B中

若使用行优先，则对于a(i,j)它在一维数组B的下标k为
1+2+3+…+(i-1)+j-1=i(i-1)/2+j-1(减1是因为数组下标从0开始)

这样，无论是下三角还是上三角，都能在数组里找到相应的位置，上三角的i,j交换一下，继续代公式没问题
做这种题千万看好内存数组和矩阵数组有没有从0开始，一般来说矩阵元素都是从1开始，数组元素从0开始，但是有的题会恶心的改变，所以不建议死记公式，记住过程在考场上推吧

2、三角矩阵

主要思想和对称矩阵相同，唯一区别在于存完三角区和对角线之后，多用一个内存单元存储常数项

上三角矩阵如果采用行优先存储
这时，第一行有n个元素，第二行有n-1个元素…第i-1行有n-i+2个元素
第i行，有j-i+1个元素
(这个怎么理解？观察一下每一行都是从i=j的对角线主元素开始的，每行往后的元素就是j-i的差值＋1)
所以k=n+n-1+n-2+…+(n-i+2)+(j-i+1)-1=(i-1)(2n-i+2)/2+(j-i)
至于下三角形的元素直接放在最后，k=n(n+1)/2

3.三对角矩阵

对角矩阵也称为带状矩阵
三对角矩阵：当ℓ i-j ℓ＞1时，a（i,j）＝0

特征：除了头尾两行，其余每行都是三个元素
如果按行优先存储时：
前i-1行：3*（i-1）-1个
第i行：j-i+2个
k=(2i+j-2)-1＝（2i+j-3）

另外还有一种题型，已知k找i,j
想：3(i-1)-1≦k+1≦3i+1.k+1是因为数组从零开始，加一代表第k+1个元素
解得i≧(k+2)/3,留一半就行，向上取整

4.稀疏矩阵

非零元素的个数相对于整个矩阵元素个数来说非常少
这时会用到三元组

这里i,j存放行和列，v存放非零元素值
注意一下，光有三元组是不够的，还需要知道矩阵一共有多少行，一共有多少列，这样才能通过i,j来计算
稀疏矩阵压缩之后失去了随机存取的特性

有关稀疏矩阵的压缩，还有十字链表法，之后我会继续补充