图基础【C语言】

基础概念

• 假设ABCDEFG是7个电话，之间的连线表示修有通信线路
• 电话就是图的顶点vi∈V，通信线路是边ei∈E，G={V,E}就是一个图
• 只要两个电话间有线路，就可以互相通话=>无向图
• 某个电话(顶点）连接的线路(边)数量：度
• ABCDE和GF之间的消息无法传递：不连通
• ABCDE和GF是两个连通分量

•  假设ABCDE是五个电话，之间的连线表示修有通信线路，数字表示该线路的电话费

•  假设ABCDE是五个城市，带箭头连线表示该方向上有航班运营
• 例如航班A→D只能支持A飞往D，边是单向的=>有向图
• 飞来某地的航班数量：入度
• 从某地起飞的航班数量：出度

• 在一个无向图中，所有的顶点的度数之和为边数量的2倍
•  在一个有向图中，所有顶点的出度之和等于所有顶点入度之和

例题：

1.无向图G={V,E}中，|V|=n，则|E|最大为？

分析：

n个结点，每个结点都与除自己外其他结点有一条边相连，而一条边连接了两个结点，因此答案为：n(n-1)/2

答案：n(n-1)/2

图的存储结构

邻接矩阵

• 设|V|=n,图可用一个n*n方阵表示，即一个二维数组AdjMat[n][n]
• AdjMat[i][j]表示vi到vj的邻接情况

无向无权图：

• AdjMat[i][j]为1表示有边相连，为0表示无边
• AdjMat是对称的
  所以设无向图对应的邻接矩阵为 A，则 A 中第 i 行上非 0 元素的个数等于第 i 列上非 0 元素的个数

有向加权图：

• AdjMat[i][j]表示vi→vj的权重
• AdjMat[i][j]为+∞表示不通

---

 邻接表

• 每个顶点用一个链表存下自己的邻居
• |V|=n，有n个链表，即图可用一个链表的数组AdjList[n]存储
• AdjList[i]表示顶点vi的链表(头)
• 从AdjList[i]开始可以遍历所有以vi的邻居

 

• 设某有向图的邻接表中有 n 个表头结点和 m 个表结点，则该图中有m条有向边
   

 邻接矩阵和邻接表的比较

• 设G={V,E}中，|V|=n.
• 邻接矩阵无论如何都需要一个二维数组[n][n]，而邻接表中的每条链表长度取决于它有多少邻居
• 邻接矩阵访问AdjMat[i][j]多少O(1)D的，但邻接表访问特定边需要顺着起点的链表向后查找

• 邻接表优点：在边较少时节省许多空间=>适用于稀疏图
• 邻接表缺点：无法直接获得某条边信息，需要vi链表进行从头顺序存取，最坏O(n)

图的DFS与BFS遍历

DFS:深度优先遍历

• 遇到新的邻居就进去...直到没有可以进的邻居了再返回
• 优先进入后来遇到的邻居=>递归/栈
• 相当于二叉树的先序遍历

以B为起点进行DFS：

访问B

       访问B的下一个未被访问邻居D

              访问D的下一个未被访问邻居C

                      C所有邻居都被访问过了，返回

              访问D的下一个未被访问邻居A

                      A所有邻居都被访问过了，返回

                访问D的下一个未被访问邻居E

                       E所有邻居都被访问过了，返回

                D所有邻居都被访问过了，返回

           B所有邻居都被访问过了，当前连通图遍历完毕

BFS【Breath First Search】：广度优先遍历

• 先把当前结点的邻居都遍历完，再按先来后到遍历邻居的邻居们，逐层向外扩张
• 相当于二叉树的层序遍历
• 优先进入先访问的邻居的邻居=>队列

 以B为起点进行BFS:

• 将起点B入队
• 访问当前队首B，它出队，未访问邻居D，E入队
• 访问当前队首D，它出队，未访问邻居A，C入队
• 访问当前队首E，它出队，它没有未访问邻居了
• 访问当前队首A，它出队，它没有未访问邻居了
• 访问当前队首C，它出队，它没有未访问邻居了
• 队列空了，当前连通图遍历完毕

要点：

• DFS每步操作：进入当前结点下一个未访问的邻居，如无则返回
• BFS每步操作：进入当前队首结点并让其出队，将其未访问邻居入队

1.给定如下邻接矩阵，写出由v0出发的一个DFS序列：________

A.0243156

B.0136542

C.0134256

D.0361542

 分析：

(1)无需画出图结构

(2)标注已遍历过的结点

0 1 3 4 2 5 6

答案：C

 2.给定如下邻接表，则由v0出发的深度优先遍历结果为（），广度优先遍历结果为（）

A.0132                 B.0231             C.0321                D.0123

答案：D   D

生成树

• 对于含n个结点的一个无向连通图，其边数最多为n(n-1)/2条，最少为n-1条
• 保持连通性的情况下，选n-1条边出来，剔除其他边，它就变成了一棵树
• 生成树里没有环
• n结点+n-1条边+连通=>生成树

=>

最小生成树（MST)

概念：

在加权图中选出n-1条边来构成其生成树，且这些边的权值之和最小

 

•  MST不一定唯一（如权值全相同）

求最小生成树：Prime算法

• 每次在连接已完成结点和未完成结点的边中，选一条权值最小的，重复n-1遍
• 算法利用了贪心思想：选择局部最优