前缀和 差分 C++ 小结

最新推荐文章于 2024-09-17 19:50:47 发布
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分类专栏： 面试 学习路线 阿里巴巴 文章标签： c++ 开发语言 后端 gradle redis
本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Bejpse/article/details/124875894
本文总结了前缀和与差分的概念及其在解决复杂问题中的应用。前缀和用于快速查询区间和，二维前缀和处理矩阵区间和；差分操作用于给数列指定区间加减操作，二维差分同样适用。通过差分和前缀和的转换，可以简化问题处理。

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·差分和前缀和互为逆运算

·合理地使用前缀和和差分能使得复杂问题简单化

特别感谢这篇文章

?前缀和与差分 图文并茂 超详细整理（全网最通俗易懂）_林小小小鹿的博客-优快云博客_前缀和差分

前缀和：

一维

~预处理(递推关系)s[i]=s[i-1]+a[i]

查询（O（1）） L到R的区间和 S = s[R]-s[L-1]

二维

s[i][j]代表左上角（1，1）到左下角（i，j）围成的矩阵的元素和

至于为什么是（1，1）而不是（0,0),主要是为了使得在递推的时候，避

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C++前缀和，差分
cui_bobo的博客
01-30 1074
一维前缀和 定义：对于一个数组a，前缀和s是通过第推求出部分和。s[i]=a[0]+…+a[i] 如：a[5]={1,3,2,1,5} prefixsum={1,4,6,7,12} prefixsum[0]=a[0]=1 prefixsum[1]=prefixsum[0]+a[1]=1+3=4 prefixsum[2]=prefixsum[1]+a[2]=4+2=6 prefixsum[3]=prefixsum[2]+a[3]=6+1=7 prefixsum[4]=prefixsum[3]+a[4]=7+5
c++灵活实现前缀和与差分
qq_45999333的博客
01-14 510
前缀和与差分 1.一维前缀和 注意 前缀和下标要从1开始，因为边界S0要定义成0。 作用：可以快速求出某个数组区间内的和。 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 1e5 + 10; int s[N],a[N];//全局变量默认为0 int main() { int m,n; cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++) cin>&
C++前缀和与差分
dengzjh92的博客
03-18 1098
前缀和和差分一个用于求区间和，一个用于快速更改区间内的值。而前缀和和差分正好相反。其实前缀和和差分还用到了我们一个以后会经常用到的思想：预处理，以后，我们将会学习更多预处理的应用。
前缀和与差分（c++）
Annabel_CM的博客
07-15 1175
前缀和 基本思想 原数组：a1 a2 a3 …an 前缀和：si = a1 + a2 + a3 + …+ ai (s[0] = 0 例如：[1, 10] s = s10 - s0) 1.求si for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + a[i]; 2.作用：快速求出原数组中一段的和 例如：[l , r] s = sr - sl; 基本模板 来自yxc /*一维前缀和 —— 模板题 AcWing 795.
C++ 数据结构与算法（前缀和/差分算法）
chenyfan_blog
03-10 566
前缀和 LeetCode
前缀和入门(c++语言)
你猜我是谁？
01-26 1556
对于一个给定的数列A，他的前缀和数中 S 中 S[ i ] 表示从第一个元素到第 i 个元素的总和。如下图：绿色区域的和就是前缀和数组中的 S [ 6 ]。这里你可能就会有一个疑问？为什么是 S[ 6 ] 的位置，而不是 S[ 5 ] 的位置呢？？即前缀和组中 S[ 0 ] 并没有参与求和的运算。这里先卖个关子等会在做解释。2. 一维前缀和2.1 计算公式前缀和数组的每一项是可以通过原序列以递推的方式推出来的，递推公式就是：S[ i ] = S[ i - 1 ] + A[ i ]。
前缀和与差分思想应用的小结
Commander_WingT的博客
08-15 704
原题目传送门： oliver的表白时间 缺席多少人（2） 以上题目均来自温州中学在线评测系统（wzoi.cc）。 大致了解什么是前缀和与差分 个人理解就是：存在一个数组，其中某一位的值与前一个值挂钩、相关联。 前缀和，就是前若干位的元素和；差分，就是第某位与前一位的差。 不妨设原数组为arr[]，则需要另外创建数组k[]，则： k[i]=k[i-1]+arr[i]即前缀和的计算；相反地，arr[i]=k[i]-k[i-1]即差分的计算。 当k[]中的某一个数值变动之后，那么进行差分后.
C++学习总结
习惯有你
01-10 1437
序言 今天是2021年12月31日，也是2021年的最后一天，时间过得很快，也很慢，回想年初在江边玩耍的时候定下学习目标，仿佛就是昨天的事，细想来从定下目标的那一天至今我已完成了很多课程的学习，复盘今年，好像我走哪都只有学习的那种感觉给我留下的印象最深刻，我都怀疑如果不是学习，也许我现在根本想不起今年都去到了哪里，干了些什么。今年出了两趟远门，去了趟上海出差，在酒店的桌子上学习链表。去了趟河南的丈母娘家，在书桌上学习动静态库的引用和作用域、链接属性等。年初时周末为了不被家里小孩打扰，在弟弟的新房里学...
【C++】c++排序算法入门之计数排序
明月别枝惊鹊的博客
02-19 3504
计数排序（Counting Sort）算法。这是一种非基于比较的排序算法，特别适用于对整数进行排序，尤其是当输入数据范围不是很大时，其性能表现非常出色。
C++——差值求和
qq_62343171的博客
01-24 1987
小明最近学习了差的绝对值，|a-b|表示a-b的绝对值，若a-b>=0，则|a-b|=a-b；若a-b<0，则|a-b|=-(a-b)。 经过几次练习，小明已经熟练掌握了差的绝对值，现在他找来了N个整数，开始任意取出两个数，求差的绝对值，再将所有差的绝对值相加。例如N=4，有4个整数，分别是1，2，3，4。任取两个数有6种取法，|1-2|=1，|1-3|=2，|1-4|=3，|2-3|=1，|2-4|=2，|3-4|=1，它们的和就是10。 由于运算量太大，累坏了小明。请你写一个程序帮他计算一下
NOIP必学内容之前缀和与差分（颜鸿宇）
08-27
其中的例题：给你一个长为n的序列,有两种操作,一种是读入(l,r,x)表示对于区间[l,r]中每个数的值加上x,另一种是查询[l,r]内的数的和是多少. n<=100000,第一种操作个数<=100000,第二种操作个数<=100
差分（C/C++）
a1564231的博客
01-14 788
差分
【数据结构】前缀和&差分（内含C++）
weixin_66767924的博客
02-12 269
前缀和与差分讲解！开来看看吧！
差分法（C++）
qq_63055790的博客
01-14 726
题目要求在（L、R）这个区间中的数字都加上整数C，那我们只需要给b[L]加上C这样会使得a[L]~a[n]中的数都加上C，因为我们要是的是区间中的加C，所以还要减去多加的a[R]后面的！这句话有点难以理解，意思就是a里面存放的是正常题目给的东西，而b存放的是a的差分，a也就成为了b的前缀和。然后类似于一维的，控制差分矩阵b来控制对于a与c的相加即可，具体如图所示。构造两个整数数组a，b来分别存储原整数序列，存储原整数序列的差分项。也是定义两个整数矩阵a和b，b矩阵是存放差分矩阵的。
前缀和 差分 裸题
A_Pathfinder的博客
02-27 360
前缀和一般是来求指定区间，运用容斥定理，求区间内的权值问题； 转：https://www.cnblogs.com/OIerShawnZhou/p/7348088.html 求红色面积，用s[i][j]来保存（0，0）到（i,j）矩形的面积，对于一次的查询答案ans应该等于s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]。（有点动态规划的思想） ...
（三十一）前缀和与差分
2401_85898378的博客
09-17 1294
关于前缀和， 关于差分， 关于点赞， 关于关注， 关于收藏， 关于转发。。。
C++算法——差分
MrChen666的博客
09-29 8835
先看看差分函数 void insert( int l , int r , int c ) { s[l] += c; s[ r + 1] -= c; } 差分其实是前缀和的升级版，举个简单的例子 操作就是利用前缀和，将目标范围内的数进行累加。我们来看一道例题。 #include<iostream> using namespace std; const int N = 1e7 + 10; int q[N], s[N]; void insert( int l , int r , in
C++前缀和 和 差分的学习
m0_74196680的博客
01-09 912
前缀和是指某序列的前n项和，可以把它理解为数学上的数列的前n项和，而差分可以看成前缀和的逆运算。合理的使用前缀和与差分，可以将某些复杂的问题简单化。（数学角度上分析就是说，给定一数列an，其前n项和为Sn，那么Sn构成的数列是an数列的前缀和数列；而反过来，an数列被称为是Sn数列的差分数列。这种关系就像是导数和不定积分一样，求导后的函数是原函数的导数；原函数是求导后函数的不定积分。差分可以看成前缀和的逆运算，即可以理解为给定数列Sn，求an数列，所求的an数列被称为Sn数列的差分数组。
上海计算机学会2023年6月月赛C++丙组T1差分求和
长春高老师编程
06-26 530
给定一个整数序列，对其中任意两个数，计算后项减前项的差，输出这些差的和。 例如对于 4a1​,a2​,a3​,a4​来说，输出 (a2​−a1​)−(a3​−a1​)−(a3​−a2​)−(a4​−a1​)−(a4​−a2​)−(a4​−a3​)
前缀和与差分c++
最新发布
03-30
<think>好的，我现在需要帮助用户理解C++中的前缀和与差分算法，包括它们的实现。首先，我需要回顾一下用户提供的引用内容，确保准确无误地整合信息。 用户引用了四个资料，主要介绍了前缀和和差分的基本概念、一维和二维的实现方法，以及它们如何优化时间复杂度。根据这些资料，我需要分步骤解释这两个概念，并给出代码示例。 首先，前缀和的定义是什么？根据引用[2]和[3]，前缀和是将前i项的和存储起来，方便快速计算区间和。这样可以使得原本需要O(n)的区间求和操作变成O(1)。需要举一个一维前缀和的例子，比如数组num的前缀和数组sum，sum[i] = sum[i-1] + num[i]。然后给出代码，像引用[2]中的代码，使用动态数组分配，并计算前缀和，处理查询时用sum[r] - sum[l-1]。 接下来是差分，差分是前缀和的逆运算。引用[1]和[3]提到，差分数组b的构建方式是b[i] = a[i] - a[i-1]，这样对差分数组的操作可以快速影响原数组。当需要对区间[l, r]加上c时，只需在b[l]加c，b[r+1]减c，然后通过前缀和恢复原数组。这可以将区间修改的时间复杂度从O(n)降到O(1)。需要展示差分的构建和操作步骤，并给出代码示例，如引用[1]中的代码。 然后，可能需要提到二维的情况，但用户的问题主要集中在一维，所以可以简要说明二维的扩展，但重点放在一维。不过引用的资料中有提到二维差分，所以需要确认是否需要包含。用户的问题是关于C++中的前缀和和差分，所以应该覆盖基本的一维情况，可能稍微提及二维，但根据用户提供的示例，用户可能只需要一维的解释。 接下来需要检查代码的正确性。例如，前缀和代码中，sum数组的索引是否从1开始，这样处理起来更方便，避免处理边界情况。差分代码中，构建差分数组时，是否从i=1开始，并且如何处理初始数组和差分数组的关系。 然后，要比较传统做法和优化后的差异，比如引用[4]提到的朴素做法是O(n)时间，而差分和前缀和优化后是O(1)或O(1)的修改加上O(n)的恢复，但总体在处理多次区间操作时更高效。 需要确保回答结构清晰，分点说明前缀和和差分的定义、作用、实现步骤、代码示例以及应用场景。同时，按照用户的要求，生成相关问题。例如，可能的问题包括前缀和和差分的区别，二维如何实现，时间复杂度的分析，以及实际应用中的例子等。 需要确保所有数学公式使用正确的LaTeX格式，行内公式用$...$，独立公式用$$...$$。例如，前缀和的区间和公式是$sum[r] - sum[l-1]$，差分的构建公式是$b[i] = a[i] - a[i-1]$。 最后，引用正确的参考文献，用户提供的引用[1]到[4]需要对应到正确的部分。例如，当提到差分数组的构建时，引用[1]和[3]，前缀和的实现引用[2]和[4]。 可能需要注意用户提供的引用中有一些重复的内容，比如引用[1]和[2]都提到了前缀和和差分的代码，需要整合这些信息，避免重复。同时，确保代码示例正确，并且解释清楚每部分代码的作用，比如在差分代码中，构建差分数组后，如何通过修改差分数组的l和r+1位置来实现区间更新，再通过前缀和得到结果。 现在需要组织这些内容，先介绍前缀和，再差分，分别给出定义、实现步骤、代码和优缺点。最后总结它们的应用场景，例如前缀和用于频繁区间查询，差分用于频繁区间修改。 可能还需要指出，差分通常和前缀和结合使用，先进行差分操作，再通过前缀和得到修改后的数组。例如，引用[1]中的代码在修改差分数组后，通过循环计算前缀和得到最终的数组。 需要确保回答使用中文，并且语言清晰易懂，结构合理。最后生成的相关问题要围绕这两个概念展开，比如如何优化区间操作，二维实现，与其他算法的比较等。</think>### C++中前缀和与差分的概念及实现 #### 一、前缀和 **定义**： 前缀和是将数组前$i$项的和预先计算并存储，用于快速计算区间$[l, r]$的和。通过预处理时间复杂度为$O(n)$，查询时仅需$O(1)$[^2][^4]。 **实现步骤**： 1. 初始化前缀和数组`sum`，其中`sum[i] = sum[i-1] + num[i]`。 2. 查询区间和时，直接使用公式$sum[r] - sum[l-1]$。 **代码示例**（一维前缀和）： ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int n, m; cin >> n >> m; int *num = new int[n + 1]; // 原数组 int *sum = new int[n + 1]; // 前缀和数组 for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> num[i]; for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + num[i]; // 计算前缀和 while (m--) { int l, r; cin >> l >> r; cout << sum[r] - sum[l - 1] << endl; // 查询区间和 } return 0; } ``` #### 二、差分 **定义**： 差分是前缀和的逆运算，通过维护差分数组$b$，使得原数组$a$满足$a[i] = b[1] + b[2] + \dots + b[i]$。差分可将区间修改操作优化至$O(1)$时间复杂度[^1][^3]。 **实现步骤**： 1. **构建差分数组**：$b[i] = a[i] - a[i-1]$。 2. **区间修改**：将区间$[l, r]$每个元素加$c$时，只需执行： - `b[l] += c` - `b[r + 1] -= c` 3. **还原数组**：通过前缀和运算得到修改后的原数组。 **代码示例**（一维差分）： ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int N = 1e5 + 10; int a[N], b[N]; // a为原数组，b为差分数组 int main() { int n, m; scanf("%d%d", &n, &m); for (int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d", &a[i]); b[i] = a[i] - a[i - 1]; // 构建差分数组 } int l, r, c; while (m--) { scanf("%d%d%d", &l, &r, &c); b[l] += c; // 左边界加c b[r + 1] -= c; // 右边界后一位减c } for (int i = 1; i <= n; i++) { a[i] = b[i] + a[i - 1]; // 前缀和还原数组 printf("%d ", a[i]); } return 0; } ``` #### 三、对比与优势 1. **前缀和**：适用于**频繁查询区间和**的场景（如统计子数组和）。 2. **差分**：适用于**频繁区间修改**的场景（如批量增减操作）[^1]。 3. **时间复杂度**： - 传统遍历：修改$O(n)$，查询$O(n)$。 - 差分+前缀和：修改$O(1)$，还原$O(n)$；查询$O(1)$。 #### 四、应用场景 - **前缀和**：数据统计、滑动窗口、图像处理中的积分图。 - **差分**：时间序列分析、区间资源分配、二维矩阵区域更新（需扩展至二维差分）[^3]。 ---
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