插入排序及算法分析

插入排序是一种很重要的排序方式，包括直接插入排序，二分插入排序，希尔排序等，这里 以直接插入排序（稳定）为例研究算法分析。

直接插入排序最经典的引入就是扑克牌，所谓插入就是拿着当前牌（第j张），插入到前j-1张牌中，使这j张牌仍然有序，所以伪代码是这样的(n张牌, 储存在数组A[n+1]中)：

//扑克牌假定从1到n，第一张显然已经有序，当然插入的牌也有可能插到当前第一张牌之前，也就是第0位
  	for(i = 2; i<=n;i++)
{
	key = A[i]；
	j = i-1;
	while(j>0&& A[j]>key)
	{
		A[j+1]  = A[j];
		j--;
	}
A[j+1] = key;
}

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        int A[n+2];
        for(int i = 1; i<=n; i++)
            cin>>A[i];     
            for(int i = 2; i<=n; i++)
        {
            int key = A[i];
            int j = i-1;
            while(j>0&& A[j]>key)
            {

                A[j+1] = A[j];
                j--;
            }
            A[j+1] = key;
        }


        for(int i = 1; i<=n; i++)
            cout<<A[i]<<" ";
            cout<<endl;
    }
}

循环不变式：
在上述伪代码中 for(int i = 2; i<=n; i++)的每一次循环，前i-1项都是已经排好序的，这种性质叫做循环不变式，可以用来帮助我们理解算法的正确性，关于循环不变式，必须证明三条性质：
1、初始化： 循环的第一次迭代之前为真
2、保持： 如果循环的每次迭代之前为真，那么下次迭代前仍为真
3、终止： 在循环终止时，不变式为我们提供一个有用的性质，该性质有助于证明算法是正确的

分析算法：
单处理计算模型：RAM模型（随机访问机），作为算法分析时要使用的实现技术模型，包括描述所用资源及其代价。在ＲＡＭ模型中，指令一条借一条的执行，没有并发操作。
插排算法分析：
通常把一个程序的运行时间描述成其输入规模的函数，一个算法在特定输入上的运行时间是指执行的基本操作数或步数，假定第ｉ行每次执行需要时间ｃｉ（常量），那么上述伪代码的执行时间如下
　　　　　　　　　　　　　代价　　　次数

for(i = 2; i<=n;i++) 　　　　ｃ１　　　ｎ
{ 
key = A[i]； 　　　　　　　　ｃ２　　　ｎ－１
j = i-1; 　　　　　　　　　　ｃ３　　　ｎ－１
while(j>0&& A[j]>key) 　　　ｃ４　　∑_(i=2)^n▒ti
{ 
A[j+1] = A[j]; 　　　　　　　ｃ５　∑_(i=2)^n▒（ti－１）
j–; 					ｃ６　　　∑_(i=2)^n▒（ti－１）
} 
A[j+1] = key; 			ｃ７　　　ｎ－１
}

最坏的情况（ｔｉ为　ｎ）
时间为　ａｎ＾２　＋　ｂｎ　＋　ｃ；但我们真正感兴趣的是运行时间的增长率｜｜增长量级，所以只需要考虑最重要的项，记做Θ（ｎ＾２）；