Sam's Numbers(矩阵快速幂)-优快云博客

本文介绍了一种使用矩阵快速幂技术解决特定类型组合计数问题的方法，并通过一个具体的编程实现示例来展示该技术的应用。适用于解决大规模数据集上的高效计算问题。

https://www.hackerrank.com/contests/hourrank-21/challenges/sams-numbers

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = (int)1e9+9;
ll s;
int m,d,mm;
struct Matrix{
    ll mx[101][101];
}one;
Matrix mul(Matrix a,Matrix b){
    Matrix re;
    memset(re.mx,0,sizeof(re.mx));
    for(int i=1;i<=mm;i++){
        for(int k=1;k<=mm;k++){
            if(a.mx[i][k]==0)continue;
            for(int j=1;j<=mm;j++){
                re.mx[i][j]+=a.mx[i][k]*b.mx[k][j]%MOD;
                re.mx[i][j]%=MOD;
            }
        }
    }
    return re;
}
Matrix power(Matrix a,ll b){
    Matrix re;
    re=one;
    while(b){
        if(b&1)re=mul(re,a);
        a=mul(a,a);
        b>>=1;
    }
    return re;
}
int getidx(int x,int y){
    return (x-1)*m+y;
}
ll fcc[111],ans[111];
ll dp[11][11];
int main(){
    memset(one.mx,0,sizeof(one.mx));
    for(int i=1;i<=100;i++)one.mx[i][i]=1;

    while(~scanf("%lld%d%d",&s,&m,&d)){
        Matrix ban;
        memset(ban.mx,0,sizeof(ban.mx));
        mm=m*m;
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=10;i++)dp[i][i]=1;
		for(int i=1;i<=10;i++){
			for(int j=1;j<=m&&j<=i;j++){
				for(int k=j;k>=1&&k>=j-d;k--){
					dp[j][i]+=dp[k][i-j];
					dp[j][i]%=MOD;
				}
				for(int k=j+1;k<=m&&k<=j+d;k++){
					dp[j][i]+=dp[k][i-j];
					dp[j][i]%=MOD;
				}
			}
		}
		if(s<=10){
            ll ans=0;
            for(int i=1;i<=m;i++)ans=(ans+dp[i][s])%MOD;
            printf("%lld\n",ans);
		}
		else {
            for(int i=1;i<=m;i++){
                for(int j=1;j<=m;j++){
                    fcc[getidx(i,j)]=dp[i][j];
                }
            }
            for(int i=1;i<=m;i++){
                for(int j=1;j<=m;j++){
                    if(i<m){
                        ban.mx[getidx(j,i+1)][getidx(j,i)]=1;
                    }
                    else {
                        for(int k=j;k>=1&&k>=j-d;k--){
                            ban.mx[getidx(k,i-j+1)][getidx(j,i)]=1;
                        }
                        for(int k=j+1;k<=m&&k<=j+d;k++){
                            ban.mx[getidx(k,i-j+1)][getidx(j,i)]=1;
                        }
                    }
                }
            }
            ban=power(ban,s-m);
            for(int i=1;i<=mm;i++){
                ans[i]=0;
                for(int j=1;j<=mm;j++){
                    ans[i]+=fcc[j]*ban.mx[j][i];
                    ans[i]%=MOD;
                }
            }
            ll sum=0;
            for(int i=1;i<=m;i++){
                sum+=ans[getidx(i,m)];
                sum%=MOD;
            }
            printf("%lld\n",sum);
		}

    }
    return 0;
}