高斯消元模板

最新推荐文章于 2022-01-04 11:51:30 发布
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分类专栏： ACM模板

kuangbin大牛的模板

    #include<stdio.h>
    #include<algorithm>
    #include<iostream>
    #include<string.h>
    #include<math.h>
    using namespace std;
    const int MAXN=50;
    int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵
    int x[MAXN];//解集
    bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元
    int gcd(int a,int b){
        if(b == 0) return a; else return gcd(b,a%b);
    }
    inline int lcm(int a,int b){
        return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出
    }
    // 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
    //-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
    //有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
    int Gauss(int equ,int var){
        int i,j,k;
        int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.
        int col;//当前处理的列
        int ta,tb;
        int LCM;
        int temp;
        int free_x_num;
        int free_index;

        for(int i=0;i<=var;i++){
            x[i]=0;
            free_x[i]=true;
        }

        //转换为阶梯阵.
        col=0; // 当前处理的列
        for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++){// 枚举当前处理的行.
        // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
            max_r=k;
            for(i=k+1;i<equ;i++){
                if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
            }
            if(max_r!=k){// 与第k行交换.
                for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
            }
            if(a[k][col]==0){// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
                k--;
                continue;
            }
            for(i=k+1;i<equ;i++){// 枚举要删去的行.
                if(a[i][col]!=0){
                    LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
                    ta = LCM/abs(a[i][col]);
                    tb = LCM/abs(a[k][col]);
                    if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加
                    for(j=col;j<var+1;j++){
                        a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;
                    }
                }
            }
        }
        // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
        for (i = k; i < equ; i++){ // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
            if (a[i][col] != 0) return -1;
        }
        // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
        // 且出现的行数即为自由变元的个数.
        if (k < var){
            return var - k; // 自由变元有var - k个.
        }
        // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
        // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
        for (i = var - 1; i >= 0; i--){
            temp = a[i][var];
            for (j = i + 1; j < var; j++){
                if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
            }
            if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
            x[i] = temp / a[i][i];
        }
        return 0;
    }
    int main(void){
    //    freopen("in.txt", "r", stdin);
    //    freopen("out.txt","w",stdout);
        int i, j;
        int equ,var;
        while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF){
            memset(a, 0, sizeof(a));
            for (i = 0; i < equ; i++){
                for (j = 0; j < var + 1; j++){
                    scanf("%d", &a[i][j]);
                }
            }
            int free_num = Gauss(equ,var);
            if (free_num == -1) printf("无解!\n");
            else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");
            else if (free_num > 0){
                printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);
                for (i = 0; i < var; i++){
                    if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);
                    else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
                }
            }else{
                for (i = 0; i < var; i++){
                    printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
                }
            }
            printf("\n");
        }
        return 0;
    }

返回值的情况

  1. -2表示有浮点数解，但无整数解
  2. -1表示无解
  3. 0表示唯一解
  4. 大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数

其他说明

有equ个方程，var个变元。 
增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define nmax 100
using namespace std;
int a[nmax][nmax];
int x[nmax];
int free_x[nmax];
int gcd(int a,int b){
    if(!b) return a; else return gcd(b,a%b);
}
int lcm(int a,int b){
    return a/gcd(a,b)*b;
}
int Gauss(int equ,int var){
    int k,max_r,col = 0,ta,tb;
    int LCM,temp,num = 0,free_index;
    for(int i=0;i<=var;i++){
        x[i]=0;
        free_x[i]=true;
    }
    for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++){
        max_r=k;
        for(int i=k+1;i<equ;i++){
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
        }
        if(max_r!=k){// 与第k行交换.
            for(int j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
        }
        if(a[k][col]==0){// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
            free_x[num++] = col;
            k--;
            continue;
        }
        for(int i=k+1;i<equ;i++){// 枚举要删去的行.
            if(a[i][col]!=0){
                LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
                ta = LCM/abs(a[i][col]);
                tb = LCM/abs(a[k][col]);
                if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加
                for(int j=col;j<var+1;j++){
                    a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;
                }
            }
        }
    }
    //无解
    for (int i = k; i < equ; i++){
        if (a[i][col] != 0) return -1;
    }
    //无穷解
    if (k < var){
        return var - k; // 自由变元有var - k个.
    }
    //唯一解
    for (int i = var - 1; i >= 0; i--){
        temp = a[i][var];
        for (int j = i + 1; j < var; j++){
            if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
        }
        if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
        x[i] = temp / a[i][i];
    }
    return 0;
}

浮点类型

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 1010;
const double EPS=1e-7;
int m,n;
double a[N][N],x[N];
int Gauss(int m,int n){
    int col=0, k=0;//col为列号,k为行号
    for (;k<m&&col<n;++k,++col){
        int r = k;
        for (int i=k+1;i<m;++i)
            if(fabs(a[i][col])>fabs(a[r][col]))r=i;
        if (fabs(a[r][col])<EPS){k--;continue;}//列全为0
        if (r!=k)for(int i=col;i<=n;++i)
            swap(a[k][i],a[r][i]);
        for (int i=k+1;i<m;++i)//消元
            if(fabs(a[i][col])>EPS){
            double t = a[i][col]/a[k][col];
            for (int j=col;j<=n;j++)a[i][j]-=a[k][j]*t;
            a[i][col] = 0;
        }
    }
    for(int i=k ;i<m ;++i)//无解
        if (fabs(a[i][n])>EPS) return -1;
    if (k < n) return n - k;  //自由元个数
    for (int i =n-1; i>=0; i--){//回带求解
        double temp = a[i][n];
        for (int j=i+1; j<n; ++j)
            temp -= x[j] * a[i][j];
        x[i] = (temp / a[i][i]);
    }
    return 0;
}

求解异或方程组

经常需要枚举自由元

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define nmax 35
using namespace std;
int a[nmax][nmax];
int x[nmax];
int hashback[nmax][nmax];
int free_x[nmax];
char mp[nmax][nmax];
int ans1,ans2;
int equ,var;
int Gauss(){
    int max_r;
    int col=0,num = 0;
    int k;
    for(int i = 0;i<=var;++i) x[i] = free_x[i] = 0;
    for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++){
        max_r=k;
        for(int i=k+1;i<equ;i++){
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
        }
        if(max_r!=k){
            for(int j=k ;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
        }
        if(a[k][col]==0){
            free_x[num++] = col;
            k--; continue;
        }
        for(int i=k+1;i<equ;i++){
            if(a[i][col]!=0){
                for(int j=col;j<var+1;j++){
                    a[i][j]^=a[k][j];;
                }
            }
        }
    }
    for(int i = k;i<equ;++i){
        if(a[i][col] != 0) return -1;
    }
    if(k < var) return var - k;
    for(int i = var - 1; i >= 0; i--){
        x[i]=a[i][var];
        for(int j = i + 1; j < var; j++){
            x[i] ^= ( a[i][j] && x[j]);
        }
    }
    return 0;
}
void enum_freex(int n,int & ans){
    int num = (1<<(n));
    ans = 1e9+7;
    for(int i = 0;i<num;++i){
        int cnt = 0;
        for(int j = 0;j<n;++j){
            if(i&(1<<j)){
                cnt++;
                x[free_x[j]] = 1;
            }else x[free_x[j]] = 0;
        }
        for(int k = var-n-1;k>=0;--k){// 没有自由元的最下面一行
            int index = 0;
            for(index = k;k<var;index++){// 在当前行找到第一个非0自由元(如果存在的话)
                if(a[k][index]) break;
            }
            x[index] = a[k][var];
            for(int j = index+1;j<var;++j){// 向后依次计算出结果
                if(a[k][j]) x[index] ^= x[j];
            }
            cnt += x[index]; // 如果结果为1，则统计
        }
        ans = min(ans,cnt);
    }
}

转自：https://blog.youkuaiyun.com/pengwill97/article/details/77282328

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