错排问题详解

错排问题（Derangement）

概念释义

又叫错位排列、重排，即使一个排列所有的元素都不在原来的位置上。

错排问题是组合数学发展史上的一个重要问题，错排数也是一项重要的数。令 $a_k(1\le k\le n)$ 是 $ n , n \epsilon N $ 的一个错排，如果每个元素都不在其对应下标的位置上，即 $ a_k \neq k$ ，那么这种排列称为错位排列，或错排、重排（Derangement）。
————————摘自《百度百科》

简要分析

我们来看一个最为经典的错排问题，信封问题：共有 $n$ 张信和 $n$ 个信封，假设所有信都装错了信封，共有多少种情况？

我们先定义 $f(n)$ 为当有 $n$ 个信封和 $n$ 张信时，有 $f(n)$ 种错排方案。

当 $n=1$ 时，信只能放在它对应的信封中，不可能出现错排情况。

故 $f(1)=0$。

当 $n=2$ 时，只存在一种情况，即两张信交换位置。

故 $f(2)=1$。

当 $n=3$ 时，存在着 $3、1、2$ 和 $2、3、1$ 两种情况，我们可以将其看为 1 与 2 错排，3 与 1、2 交换位置得来的。

故 $f(3)=2$。

当 $n=4$ 时，错排有：

4 3 2 1，4 1 2 3，4 3 1 2，

//第一列是 $4$ 分别与 $123$ 互换位置，其余两个元素错排。

3 4 1 2，3 4 2 1，2 4 1 3，

//第二列是 $4$ 分别与 $312$（ $123$ 的一个错排）的每一个数互换

2 1 4 3，3 1 4 2，2 3 4 1。

//第三列则是由另一个错排 $231$ 和 $4$ 换位而得到

共 $9$ 种情况。

根据上面的注释得知， $f(n)$ 的值与 $f(n-1)$ 、$f(n-2)$ 的值有一定的关联。

那我们能否得出递推式呢？答案是肯定的。

公式推导

首先，

$1$ 号元素必定要排在第 $2\sim n$ 个位置的其中之一，所以有 $n-1$ 种放法。

然后，

假设 $1$ 号元素放在了第 $k$ 个位置，那么下一步就要排 $k$ 号元素。

再然后，

$k$ 号元素的排列有两种方式：

一是放在第 $1$ 个位置，剩下的 $n-2$ 个元素进行错排，共有 $f(n-2)$ 种可能；

二是不放在第 $1$ 个位置，这时我们将第 $1$ 个位置看作第 $k$ 个位置，于是就形成了包括 $k$ 号元素在内的 $n-1$ 个元素的错排，共有 $f(n-1)$ 种可能。

所以，$k$ 号元素共有 $f(n-1)+f(n-2)$ 种可能。

又因为第一号元素有 $n-1$ 种放法，根据乘法原理。

我们得知，

递推式为：

$f(n)=(n-1)\times (f(n-1)+f(n-2))$。

以上就是基础错排问题的全部内容了（当然只是基础部分的全部内容）

练习题

P1595 信封问题

这是一道模板题，只要你知道递推式便可以做对。此题也可以使用深度优先搜索来 AC 掉这道题。

不过需要注意的是，错排方案的增长非常快。
$n=13$ 时 $int$ 会爆掉，$n=22$ 时 $f(n)$ 的值就已经达到了约 $7\times 10^{18}$ , 在 $n=23$ 时 $long$ $long$ 会爆掉。

也就是说，在处理错排问题时一定要开 $long$ $long$。

当题目给出 $n>20$ 的范围时，我们就应该使用高精度算法了（Python、Java等略过）。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;

long long f(long long x)//一定要开long long
{
	if( x == 1 )
		return 0;
	else if( x == 2 )
		return 1;
	else
		return (x-1)*(f(x-1)+f(x-2));
}

int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	cout<<f(n);
	return 0;
}

P3182 [HAOI2016]放棋子

这道题也是一道裸错排题，不过数据到了 $200$ ，必定需要高精度。

留作读者练习用吧。