洛谷P1650：田忌赛马（贪心）

原创已于 2022-01-23 12:41:39 修改 · 878 阅读

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#贪心算法

于 2022-01-23 12:21:08 首次发布

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本文解析了一道经典的策略问题——田忌赛马，并提出了针对特殊情况的解决方案。通过对最大值和最小值相等的情况进行讨论，给出了证明并提供了C++实现代码。

解析

其实并不简单的一道题。

是刘汝佳老师的例题，搜到之后按照讲的策略写了一发。
（由于这个策略并不完全正确，就不展开讲了）
在这里插入图片描述
好啊！
可是感觉讲的策略特别对，为什么呢？

原因在于，课上的策略是建立于 比赛非赢即输的前提下，而本题存在平局。
当最小值相等时，这个贪心直接让最小值去找最大值送死或者让两个最小值打平都不一定是最优的。
分别的hack数据：

5
1 1 7 9 10
1 3 5 6 9

3
6 7 9
6 8 10

（以下设 $a_{1...n}$ 是田忌的马， $b_{1...n}$ 是齐王的马，按升序排列， $x - y$ 表示 $x, y$ 对局）
那么怎么办呢？
注意到，我们可以用类似的套路对最大值进行处理，那么我们现在的问题就只在于如何处理最大值和最小值都相等的时候了，即 $a_1=b_1,a_n=b_n$ 。
在 $a_1=b_1=a_n=b_n$ 的时候怎么选结果都是一样的，因此我们只讨论 $a_1<a_n,b_1<b_n$ 的情况。

一个朴素的想法还是用最小值霍霍对方的最大值 ( $a_1-b_n$ )，而此时这个做法是对的，以下给出证明。
假设最优解并非如此，就有： $a_1-b_j,a_i-b_n$ ，此时的价值优于 $a_1-b_n,a_i-b_j$
接下来分情况讨论：

$a_i<b_j$ ，两种决策的价值都是-400，换成 $a_1,b_n$ 不会变劣。
$a_i=b_j$ ，右边的价值是-200，而左边的价值为-200或-400，换成 $a_1,b_n$ 不会变劣。
$a_i>b_j$ ，右边的价值是0，而左边的两场比赛一场我方是最小值，一场对方是最大值，都赢不了，，换成 $a_1,b_n$ 不会变劣。

综上所述，使 $a_1-b_n$ 始终是不劣的。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
#define ok debug("OK\n")
inline ll read(){
	ll x(0),f(1);char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
	return x*f;
}
const int N=2e6+100;
const int M=1e6+100;
const int mod=1e9;
int n;
int a[N],b[N],pl,ans;

signed main(){
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("a.in","r",stdin);
	freopen("a.out","w",stdout);
	#endif
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=read();
	sort(a+1,a+1+n);sort(b+1,b+1+n);
	int al=1,ar=n,bl=1,br=n;
	while(al<=ar){
		if(a[al]<b[bl]){
			++al;--br;ans-=200;
		}
		else if(a[al]>b[bl]){
			++al;++bl;ans+=200;
		}
		else if(a[ar]>b[br]){
			--ar;--br;ans+=200;
		}
		else if(a[ar]<b[br]){
			++al;--br;ans-=200;
		}
		else{
			if(a[al]<b[br]) ans-=200;
			++al;--br;
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}
/*
3
2 2 2
2 2 3
*/