CF886E Maximum Element（dp、组合数学）_e. maximum element-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/BUG_Creater_jie/article/details/122304311

博客内容介绍了如何使用动态规划方法解决一个关于排列循环且不允许元素'跳出'的数学问题。通过转移方程和前缀和优化，线性时间内求解方案数，并给出C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

$Solution\text{Solution}$

纯纯的dp题。
关键在于我们 dp 时只关注不同元素之间的相对大小。

非法情况不易统计，考虑转而考虑合法情况再用全排列减。
设计 $f_i$ 为长度为 $i$ 的排列循环到一直最后也没有跳出的方案数。
枚举最大的元素 $i$ 放置的位置 $j$ ，由于不能跳出， $j$ 只能放在 $[i - k + 1, i]$ 的位置。
那么就有：
$fi=∑j=i−k+1i(i−1j−1)×fj−1×(j−i)!f_i=\sum_{j=i-k+1}^i \binom{i-1}{j-1}\times f_{j-1}\times (j-i)!$
解释一下，当元素 $i$ 放在位置 $j$ 时，选出 $j - 1$ 个数放前面，方案是 $(i−1j−1)\binom{i-1}{j-1}$ ；前面的方案就是 $f_{j-1}$ （和排列是等价的），后面随便放，方案就是阶乘。
然后把组合数拆一下，变成：
$fi=∑j=i−k+1i(i−1)!(j−1)!×fj−1f_i=\sum_{j=i-k+1}^i\frac{(i-1)!}{(j-1)!} \times f_{j-1}$
$=(i−1)!×∑j=i−k+1ifj−1(j−1)!=(i-1)!\times\sum_{j=i-k+1}^i\frac{f_{j-1}}{(j-1)!}$
$=(i−1)!×∑j=i−ki−1fjj!=(i-1)!\times\sum_{j=i-k}^{i-1}\frac{f_{j}}{j!}$
把后面的东西拿前缀和优化一下即可线性求出 $f$ 数组。
求出 $f$ 之后，枚举 $n$ 所在的位置 $i$ ，答案就是：
$ans=∑i=1n(n−1i−1)×fi−1×(n−i)!ans=\sum_{i=1}^n\binom{n-1}{i-1}\times f_{i-1}\times (n-i)!$

$Code\text{Code}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
inline ll read(){
  ll x(0),f(1);char c=getchar();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
  return x*f;
}


const int N=1e6+100;
const int mod=1e9+7;
int n,m,k;
inline ll ksm(ll x,ll k){
  ll res(1);
  while(k){
    if(k&1) res=x*res%mod;
    x=x*x%mod;
    k>>=1;
  }
  return res;
}
ll jc[N],ni[N];
ll f[N],sum[N];
inline ll C(ll n,ll m){
  return jc[n]*ni[m]%mod*ni[n-m]%mod;
}
signed main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("a.in","r",stdin);
  freopen("a.out","w",stdout);
#endif
  n=read();k=read();
  jc[0]=1;
  for(int i=1;i<=n;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
  ni[n]=ksm(jc[n],mod-2);
  for(int i=n-1;i>=0;i--) ni[i]=ni[i+1]*(i+1)%mod;
  f[0]=1;sum[0]=1;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    f[i]=jc[i-1]*(sum[i-1]+mod-(i-k>0?sum[i-k-1]:0))%mod;
    sum[i]=(sum[i-1]+f[i]*ni[i])%mod;
  }
  ll ans(0);
  for(int i=1;i<=n;i++){
    (ans+=f[i-1]*C(n-1,i-1)%mod*jc[n-i]%mod)%=mod;
  }
  printf("%lld\n",(jc[n]+mod-ans)%mod);
  return 0;
}
/*
*/