通信面经|香农限

最新推荐文章于 2025-12-04 23:45:23 发布

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#5G #信息与通信 #面试 #4G #通信原理

定义：香农限是指单位时间单位带宽内传输1bit信息所需要的最小信噪比（Eb/N0)。-1.59 dB

AWGN信道下信道容量推导：

$\begin{aligned} C &= Blog_{2}(1+\frac{S}{N})\\&=Blog_{2}(1+\frac{S}{N_{0}B}) \end{aligned}$ （公式1）

其中N0是AWGN白噪声的单边带功率谱密度。Eb是信息比特功率，Rb是单位时间内bit传输速率。他们共同组成单位时间内信息传输功率。

香农定理指出，如果信息源的信息速率 R 小于或者等于信道容量 C ，那么，在理论上存在一种方法可使信息源的输出能够以任意小的差错概率通过信道传输。该定理还指出：如果 R≥C ，则没有任何办法传递这样的信息，或者说传递这样的二进制信息的差错率为1/2。

这里简单引用了一下知乎“攻城狮”的东西，但是他的推导我看不懂，所以用自己的推导方式。

先看信道容量与SNR的极限关系，假设带宽B无限大。推导：

$\begin{aligned} \lim_{B \to \infty } Blog_{2}(1+\frac{S}{N_{0}B}) \end{aligned}$ ,令 $\begin{aligned} \frac{S}{N_{0}B}=x \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\lim_{x \to \infty } log_{2}(1+x) \\ &=\lim_{x \to \infty } \frac{ln(1+x) }{ln2} \end{aligned}$

B作为x的分母，B无限大，x就该无限小，并且这里用了换底公式，忘了的朋友可以复习一下。

要求ln(1+x)的极限，可以将其泰勒展开再观察。

$\begin{aligned} &\lim_{x \to \infty } \ ln(1+x) \\ &=\lim_{x \to \infty } \ x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + \cdots \\ &\approx x \end{aligned}$

x趋于0 认为高阶项的影响很小，所以就约等于x。

$\begin{aligned} &\lim_{x \to \infty } log_{2}(1+x) \\ &=\lim_{x \to \infty } \frac{ln(1+x) }{ln2} \\&\approx \frac{x}{ln2} \\ \end{aligned}$

代回原公式

$\begin{aligned}& \lim_{B \to \infty } Blog_{2}(1+\frac{S}{N_{0}B}) \\ &\approx B \frac{S}{N_{0}Bln2} \\ &\approx \frac{S}{N_{0}ln2} \geq C \end{aligned}$