【概率与期望】流星雨

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/368/C
来源：牛客网

---

 题目比较简单，但因为比较典型所以记录一下。
 另外，这种题一定要分清事件的概率，否则容易全盘皆错。
 这题中，某一天是否发生流星雨的概率，不仅和当天有关，还和之前的情况有关。假设这个事件发生的概率为$dp[i]$，则$dp[i]=dp[i-1]\ast (p_i+P)+(1-dp[i-1])\ast p_i=P\ast dp[i-1]+p_i$，于是可以递推。
 我后来又设了数组s来求出某一天是否发生流星雨的概率的条件下到这天的流星数期望，企图递推求出答案，可行，但是后来发现没有必要。因为数学期望具有可加性，无论两个事件是否独立，所以直接有$ans=\sum dp[i]\ast w[i]$

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define mo 1000000007

using namespace std;
using LL=long long;

struct frac     //这里也可以不用定义frac类，直接用一个整数=分子*分母的逆元来表示分数，代码会短很多，而效率会稍微差一些
{
    int x,y;

    frac(int x=0, int y=0):x(x),y(y){}

    frac(LL x, LL y):x(int(x)),y(int(y)){}

    frac operator+(const frac &t) const
    {
        return (frac){((LL)x*t.y+(LL)t.x*y)%mo,(LL)y*t.y%mo};
    }

    frac operator-(const frac &t) const
    {
        return (frac){((LL)x*t.y-(LL)t.x*y%mo)%mo,(LL)y*t.y%mo};
    }

    frac operator*(const frac &t) const
    {
        return (frac){(LL)x*t.x%mo,(LL)y*t.y%mo};
    }

    frac operator/(const frac &t) const
    {
        return (frac){(LL)x*t.y%mo,(LL)y*t.x%mo};
    }
}one(1,1),dp[100005],s[100005][2],w[100005],P,p[100005],ans;

int n;

int quick_power(int x, int y)
{
    int res=1,base=x;
    while(y)
    {
        if(y&1)
            res=(LL)res*base%mo;
        base=(LL)base*base%mo;
        y>>=1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&P.x,&P.y);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&w[i].x),w[i].y=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
    dp[1]=p[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
        dp[i]=P*dp[i-1]+p[i];
    //s[1][0]=(frac){0,1};
    //s[1][1]=w[1];
    ans=(frac){0,1};
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans=ans+dp[i]*w[i];
        //s[i][1]=w[i]+((s[i-1][1])*(p[i]+P)*dp[i-1]+(s[i-1][0])*p[i]*(one-dp[i-1]))/dp[i];原先的思路，s[i][1]表示第i步发生流星雨时的期望总数
        //s[i][0]=(s[i-1][1]*(one-p[i]-P)*dp[i-1]+s[i-1][0]*(one-p[i])*(one-dp[i-1]))/(one-dp[i]);原先的思路，s[i][0]表示第i步不发生流星雨时的期望总数
    }
    //ans=s[n][1]*dp[n]+s[n][0]*(one-dp[n]);
    printf("%lld",(LL)ans.x*quick_power(ans.y,mo-2)%mo);
    return 0;
}