【莫比乌斯反演】【数学思维】势能之和

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 本题出自计蒜客模拟赛。
 比较容易猜的一个结论就是，题目中所说的势能，就是S除这个子集的gcd。
 原因先看两个元素的集合，设为{a,b}，$势能=lcm(\frac{S}{a},\frac{S}{b})=\frac{S^2}{ab\ast gcd(\frac{S}{a},\frac{S}{b})}$，用德摩根公式或者画图法可以知道$gcd(\frac{S}{a},\frac{S}{b})=\frac{S}{lcm(a,b)}$，于是$势能=\frac{S\ast lcm(a,b)}{a\ast b}=\frac{S}{gcd(a,b)}$。两个元素证明之后，第三个或者更多的元素情况可以采用归纳法证明。
 问题简化了不少，我们发现需要求的是gcd为某一个数的子集个数，所以要先求出gcd为这个数倍数的子集个数，再使用容斥原理或者莫比乌斯反演的方法。两种效率都差不多，但由于内存卡得有点紧，筛法储存1~1E6的每个因子会爆内存，所以只好采用莫比乌斯反演法。详细步骤见代码。

#include<cstdio>
#include<forward_list>
#define mo 1000000007
using namespace std;
using LL=long long;

int n,pi,h[1000005],ans[1000005],res,p2[1000005],inv[1000005];
int p[72400],pn,miu[1000005];
bool f[1000005];

void sieve()
{
	miu[1]=1;
	p[0]=1E9;
	for(int i=2,j,k;i<=1E6;i++)
	{
		if(!f[i])
			p[++pn]=i,miu[i]=-1;
		for(j=1;j<=pn&&(k=p[j]*i)<=1E6&&i%p[j-1];j++)
			f[k]=true,miu[k]=-miu[i];
		if(i%p[j-1]==0)
			miu[p[j-1]*i]=0;
	}
}

int main()
{
	sieve();
	scanf("%d",&n);
	pi=1;
	for(int i=1,a;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a),pi=(LL)pi*a%mo,h[a]++;
	p2[0]=1;
	inv[1]=1;  
	for(int i=2;i<=1E6;i++)  
    	inv[i]=(LL)inv[mo%i]*(mo-mo/i)%mo;   //最近学到的一个小技巧，求连续数的逆元的时候可以采用递推的方法O(n)来做
	for(int i=1;i<=1E6;i++)
		p2[i]=p2[i-1]*2%mo;
	for(int i=1,cnt;i<=1E6;i++)
	{
		cnt=0;
		for(int j=i;j<=1E6;j+=i)
			cnt+=h[j];
		ans[i]=(p2[cnt]-1+mo)%mo;
	}
	for(int i=1,lim;i<=1E6;i++)
	{
		lim=1E6/i;
		for(int j=2;j<=lim;j++)
			ans[i]=((LL)ans[i]+ans[j*i]*miu[j]+mo)%mo;
		res=(res+(LL)ans[i]*pi%mo*inv[i])%mo;
	}
	printf("%d",res);
	return 0;
}