最小费用最大流

介绍：

“流”的问题可能不仅仅是流量，还包括“费用”的因素。网络的每一条边（Vi，Vj）除给定了容量Cij外，还给了一个单位流量费用Bij>=0。问题的数学模型是求最大流F，使流的总输送费用B（F）=∑Bij  Fij （I,j∈A）取极小值。这就是所谓的最小费用最大流问题。

下图所示是一个公路网，s是仓库所在地，t是物资终点。每一条边都有两个数字，第一个数字表示某段时间通过公路的物资的最多吨数，第二个数字表示每顿物资通过该公路的费用。问怎样安排才能即使得从s运到t的物资最多，又使得总的运输费用最少？

算法思想：

从F=0开始，设已知F是流量V（F）的最小费用流，余下的问题是如何去寻求关于F的最小费用可增广路径。

构造一个加权有向图W（F），它的节点是原网络D的节点，把D中的每一条边（Vi，Vj）变成两个方向相反的边<Vi,Vj>和<Vj,Vi>。定义W（F）中的边权Wij为

于是在网络中寻求关于F的最小费用可增广路径，等价于在加权有向图W（F）中寻求从Vs到Vt的最短路径。