点分治算法-优快云博客

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题目描述

小 B 也是一名普及组选手，小 B 喜欢图论，尤其喜欢树。
一天，小 B 学习了递归。小 B 想要通过递归生成一棵树，因此他写下了这样的代码：

int cnt=0;
int solve(int n)
{
    if(n==0){cnt++;return cnt-1;}
    int ls=solve(n-1);int rs=solve(n-1);
    adde(ls,rs);return ls;
}

其中 adde(x,y) 表示加入一条连接 $x, y$ 的边。
可以发现，如果运行 solve(n)，可以得到一棵有 $2^n$ 个点的树，这棵树的节点从 $0$ 开始编号。小 B 在 adde 中加入了输出，并将输出重定向到了一个文件，接着调用了 solve(1e6)。显而易见地，这个文件很快变得极大，占据了整个硬盘。接着，小 B 的硬盘坏掉了。

在小 B 的电脑被送去修理的时候，小 B 无法写代码，因此小 B 决定继续思考之前调用 solve(n) 得到的树。小 B 看到了一种算法名为点分治，因此小 B 给出了 $q$ 次询问，每次给出 $x, d$ ，你需要求出树上有多少个点 $y$ 满足 $x, y$ 在树上的最短路长度（经过的边数）等于 $d$ 。因为这个答案可能很大，你只需要求出这个答案对 $998244353$ 取模的结果。

然而 $x$ 也可能非常大，因此小 B 会以以下方式给出 $x$ ：

对于第 $i$ 次询问，给出 $k_i$ 以及 $k_i$ 个两两不同的非负整数 $v1,…,vkiv_1,\ldots,v_{k_i}$ ，表示 $x$ 的二进制表示中所有为 $1$ 的位为 $v1,…,vkiv_1,\ldots,v_{k_i}$ 。

$n⩽107,q⩽2×105,∑ki⩽106n\leqslant 10^7,q\leqslant 2\times 10^5,\sum k_i\leqslant 10^6$ 。

题解

首先这题不会是淀粉质（逃

观察这个图非常像树状数组，发现每个点往上爬的时候会减去 $lowbit⁡(i)\operatorname{lowbit}(i)$ ，所以至多爬 $k_i$ 次，我们需要设计一个 $O(∑ki)\mathcal{O}(\sum k_i)$ 的算法。每个点下满足 $d = i$ 的点是满足杨辉三角的规律的。设当前节点的子树最大深度为 $x$ ，查询距离为 $y$ （深度定义为边的个数），则这个节点下距离 $y$ 的个数为 $(xy)\dbinom{x}{y}$ 。

我们举两个例子 $(x = 7, d = 3)$ 和 $(x = 13, d = 4)$ 。

当 $x = 7$ 时，我们发现在 $7$ 的所有子树中没有距离他为 $3$ 的点，所以我们往上爬到 $6$ ，发现仍然没有。爬到 $4$ 时，由于我往上爬了两层，所以我还需要距离为 $1$ 的点，所以在点 $4$ 中求出距离为 $1$ 的点即为 $(21)=2\dbinom{2}{1}=2$ ，但是我们发现实际上满足条件的点只有 $5$ ，而没有 $6$ ，这是因为我们将一条边走了两次，不满足简单路径的性质，所以事实上我们应该减去 $(10)=1\dbinom{1}{0}=1$ （ $6$ 中子树深度为 $1$ ，我需要减去深度为 $d - 2 - 1$ 的点，这个公式是假设我往上爬了 $i$ 次，则我一定会减掉深度 $d - i - 1$ 的点）。我们不妨继续往下看，爬到 $0$ 时，求出 $(40)=1\dbinom{4}{0}=1$ ，最后得到总答案为 $2$ 。

当 $x = 13$ 时，我们不考虑爬到 $12, 13$ 的情况，直接考虑 $8$ 的情况， $(32)=3\dbinom{3}{2}=3$ ，将 $11, 13, 14$ 都算了进来，但我们知道 $12$ 的子树已经不可以再计算了，所以我们减去 $(2d−i−1=1)=2\dbinom{2}{d-i-1=1}=2$ 个节点，得到 $8$ 中有一个节点满足条件，以此类推，不再详述了。

所以经过我们的探索，我们会发现总答案满足（注意观察以下 $i$ 跟上面的变化，跟数组有关的，第 $i$ 个 $v_i$ 只爬了 $i - 1$ 次）：
$\sum\limits_{i=1}^k \dbinom{v_i}{d-i+1}-\dbinom{v_{i-1}}{d-i}\times [i\neq 1]$

上面的公式其实不完全正确，我们需要在 $v$ 数组的最后添加一个 $1$ ，表示第 $n$ 位也有，这样才能计算得到从 $0$ 出发的情况，题目没保证 $v$ 单调递增，记得排序。

考虑这个算法目前的瓶颈在哪，在于处理组合数中阶乘的逆元，最大可以达到 $n!$ 的逆元，所以我们需要学习 $O(n)\mathcal{O}(n)$ 的阶乘逆元求法（不会只有我不会吧/kk）：
$\operatorname{inv}(i!)=\operatorname{inv}[(i+1)!]\times (i+1)$

这样即可做到 $O(max⁡(n,∑k))\mathcal{O}(\max(n,\sum k))$ 求值。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mid ((l+r)>>1)
#define fir first
#define sec second
#define lowbit(i) (i&(-i))
using namespace std;
const int N=1e7+5;
inline int read(){
    char op=getchar();
    int w=0,s=1;
    while(op<'0'||op>'9'){
        if(op=='-') s=-1;
        op=getchar();
    }
    while(op>='0'&&op<='9'){
        w=(w<<1)+(w<<3)+op-'0';
        op=getchar();
    }
    return w*s;
}
const int mod=998244353;
int Mul(int a,int b){return (a%mod*b%mod)%mod;}
int Add(int a,int b){return (a+b)%mod;}
int Dec(int a,int b){return (a-b+mod)%mod;}
int Pow(int a,int k){
    int ans=1;
    while(k){
        if(k&1) ans=Mul(ans,a);
        a=Mul(a,a);
        k>>=1;
    }
    return ans;
}
int inv(int x){return Pow(x,mod-2);}
int jc[N],invjc[N],x[N];
int C(int n,int m){
    if(n>m||n<0||m<0) return 0;
    return Mul(jc[m],Mul(invjc[n],invjc[m-n]));
}
signed main(){
    int n=read(),q=read();
    jc[0]=1;
    invjc[0]=1;
    for(register int i=1;i<=n;i++) jc[i]=Mul(jc[i-1],i);
    invjc[n]=Pow(jc[n],mod-2);
    for(register int i=n-1;i>=1;i--) invjc[i]=Mul(invjc[i+1],(i+1));
    while(q--){
        int k=read(),ans=0;
        for(register int i=1;i<=k;i++) x[i]=read();
        x[k+1]=n,k++;
        int d=read();
        sort(x+1,x+k+1);
        for(register int i=1;i<=k;i++){
            ans=Add(ans,C(d-i+1,x[i]));
            if(i!=1) ans=Dec(ans,C(d-i,x[i-1]));
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}

【数学】树

题目描述

题解